（2014•江苏模拟）设函数f（x）=alnx+1x，a∈R．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/30 02:37:39

（2014•江苏模拟）设函数f（x）=alnx+

函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
（Ⅰ）由题意x＞0，f′(x)＝
a
x−
1
x2，…（2分）
（1）当a＞0时，
由f′(x)＝
a
x−
1
x2＜0，
解得x＜
1
a，函数f（x）的单调递减区间是（0，
1
a）；
由f′(x)＝
a
x−
1
x2＞0，
解得x＞
1
a，函数f（x）的单调递增区间是（
1
a，+∞）． …（4分）
（2）当a≤0时，
由于x＞0，所以f′(x)＝
a
x−
1
x2＜0恒成立，
函数f（x）的在区间（0，+∞）上单调递减．…（5分）
（Ⅱ）因为对于任意正实数x，不等式f（x）≥2a成立，即2a≤alnx+
1
x恒成立．
因为a＞0，由（Ⅰ）可知
当x=
1
a时，函数f(x)＝alnx+
1
x有最小值f（
1
a）=aln
1
a+a=a-alna．…（7分）
所以2a≤a-alna，解得0＜a≤
1
e．
故所求实数a的取值范围是(0，
1
e]． …（9分）
（Ⅲ）因为f(
x1+x2
2)＝aln
x1+x2
2+
2
x1+x2，

f(x1)+f(x2)
2＝
1
2(alnx1+
1
x1+alnx2

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