作业帮 > 数学 > 作业

设函数f(x)=x-1/x-alnx(a∈R).讨论函数f(x)的单调性

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 22:05:46
设函数f(x)=x-1/x-alnx(a∈R).讨论函数f(x)的单调性
定义域(0,+∞)
求导得f'(x)=1+ 1/x² -a/x =(x²-ax+1)/x²
然后根据x²-ax+1的正负情况确定单调性
令h(x)=x²-ax+1
这是一个过定点(0,1)开口向上的抛物线
对称轴是x=a/2
(1)当a/2≤0或△≤0 即a≤2时,h(x)在(0,+∞)恒大于等于0
此时f(x)在(0,+∞)是增函数
(2)当a/2>0且△>0 即a>2时
h(x)=0的两根是[a±√(a²-4)]/2
作出h(x)的草图,由图可知
f(x)在(0,[a-√(a²-4)]/2)和([a+√(a²-4)]/2,+∞)是增函数
在(a-√(a²-4)]/2,a+√(a²-4)]/2)是减函数