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已知函数f(x)=ax-1/a-(a+1)lnx(a<1)①讨论函数f(x)的单调区间②若 0<a<1/e,试证对区间[

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/21 18:03:49
已知函数f(x)=ax-1/a-(a+1)lnx(a<1)①讨论函数f(x)的单调区间②若 0<a<1/e,试证对区间[1...
已知函数f(x)=ax-1/a-(a+1)lnx(a<1)①讨论函数f(x)的单调区间②若
0<a<1/e,试证对区间[1
,e]上的任意x1,x2,总有|f(x1)-f(x2)|<1/e成立
① f'(x)=(ax-a-1)/x,x>0
∴当0<a<1时,令f'(x)>0得x>1+1/a,令f'(x)<0得0<x<1+1/a,此时f(x)的增区间为(1+1/a,+∞)
减区间为(0,1+1/a)
当a=0时,f'(x)=-1/x<0,f(x)在定义域上递减
当a<0时,令f'(x)>0得0<x<1+1/a,令f'(x)<0得x>1+1/a,此时f(x)的减区间为(1+1/a,+∞)
增区间为(0,1+1/a)
② 由已知,a∈(0,1),由①知,此时f(x)的减区间为(0,1+1/a),
又1/a∈(e,+∞),1+1/a>e
∴f(x)在[1,e]上递减,最大值为f(1)=a-1/a,最小值为f(e)=ae-1/a-a-1,
所以对任意x1,x2,总有|f(x1)-f(x2)|<f(1)-f(e)=(2-e)a+1<(2-e)·1/e+1=2/e
即|f(x1)-f(x2)|<2/e