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导数的存在证明证明f(x)在x0处的导数=lim(n趋向于无穷大)((f(x0+an)-f(x0-bn))/(an+bn

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/13 05:28:37
导数的存在证明
证明f(x)在x0处的导数=lim(n趋向于无穷大)((f(x0+an)-f(x0-bn))/(an+bn)),其中f(x)在x0点可导,an,bn分别为趋于0的正数列z
请问 原式也可以写成
{(f(x0+an)-f(x0) /an - f(x0-bn)-f(x0))/(-bn) } /-anbn/(an+bn)
这样想的话答案就是0 了
-anbn/(an+bn) 这个式子 没有极限 即趋向于0 倒数就趋于无穷大 所以不能那样分
再问: 那应该怎么简单证明呢?过程越简单越好
再答:  对任意 ε>0,由条件,因
    lim(n→inf.)[f(x0+an) - f(x0)]/an = f'(x0),
    lim(n→inf.)[f(x0+bn) - f(x0)]/bn = f'(x0),
存在正整数 N,使当 n>N 时,有
    |[f(x0+an) - f(x0)]/an - f'(x0)| < ε,|[f(x0+bn) - f(x0)]/bn - f'(x0)| < ε,
此时
    |[f(x0+an) - f(x0-bn)]/(an+bn) - f'(x0)|
   = |{[f(x0+an) - f(x0)]/an - f'(x0)}[an/(an+bn)] - {[f(x0+bn) - f(x0)]/bn - f'(x0)}[bn/(an+bn)]|