作业帮数学归纳法证明的步骤是什么?最好有举例,速者优先
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 19:59:22
数学归纳法证明的步骤是什么?最好有举例,速者优先
数学归纳法是一种数学证明方法,典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法.
已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年).Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是 n^2.
最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成,这种方法是由下面两步组成:
递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立.
递推的依据: 证明如果当n = m时成立,那么当n = m + 1时同样成立.(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设. 不要把整个第二步称为归纳假设.)
这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的,然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的.如果这两步都被证明了,那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中.或许想成多米诺效应更容易理解一些；如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：
第一张骨牌将要倒下.
只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒.
那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒.
数学归纳法的原理作为自然数公理,通常是被规定了的(参见皮亚诺公理第五条).但是它可以用一些逻辑方法证明；比如,如果下面的公理：
自然数集是有序的
被使用.
注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化.更确切地说,两个都是等价的
数学归纳法有两个关键点需要牢记
1.证明当n为某一个值时,结论是成立的.
2.假定n=k时成立,证明n=k+1时,结论也是成立的.
第一条的证明是第二条假设能够成立的依据.可以想象,有了第一条的证明,比如n=1时成立,那么在第二条中假定n=k时成立,就有了依据.这时k=1.
经过第二条的证明,k=2时结论也就成立了.于是在k=2时假设是一定成立的.
如果没有第一条的证明,那么第二条的假设就不一定成立了.
数学归纳法有两个关键步骤：
1.证明当n为某一个值时,结论成立；
2.假定n=k时成立,证明n=k+1时,结论也成立.
如果只证明第二条,不证明第一条的话,是会出现你说的矛盾,这个叫循环论证,是不严密甚至是错的.
一定要先证明一个特殊情况成立的时候才能用第二步证明其他情况也成立.
举例：
求证:5个连续自然数的积能被120整除
答案：
1、当n=1时1*2*3*4*5=120,能被120整除,原命题成立
2、假设当n=k时原命题成立,则当n=k+1时
（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）
=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
因为k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
只需证5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
即欲证（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍数
四个数中两奇两偶,一定有4的倍数,3的倍数,还有另一个偶数,所以一定能被4*2*3=24整除 .
即当n=k+1时原命题成立
所以,综合1、2、,原命题对任何自然数成立
又一例：
已知：a1=1/2,1+an=3an/3+an(n属于正整数),则an=
an=3/(n+5)
a1=1/2=3/6
a2=3/7,a3=3/8,a4=3/9,a5=3/10.
猜想：an=3/(n+5)
证明：当n=1时,a1=1/2=3/6
假设当n=k时成立,即:ak=3/(k+5)
则当n=k+1时有ak+1=3ak/(3+ak)
=[9/(k+5)]/[3+3/(k+5)]
=9/3(k+5+1)
=3/[(k+1)+5]
即当n=k+1时假设成立.
所以an=3/(n+5) （n为正整数）
已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年).Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是 n^2.
最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成,这种方法是由下面两步组成:
递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立.
递推的依据: 证明如果当n = m时成立,那么当n = m + 1时同样成立.(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设. 不要把整个第二步称为归纳假设.)
这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的,然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的.如果这两步都被证明了,那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中.或许想成多米诺效应更容易理解一些；如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：
第一张骨牌将要倒下.
只要某一个骨牌倒了,与他相临的下一个骨牌也要倒.
那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒.
数学归纳法的原理作为自然数公理,通常是被规定了的(参见皮亚诺公理第五条).但是它可以用一些逻辑方法证明；比如,如果下面的公理：
自然数集是有序的
被使用.
注意到有些其他的公理确实的是数学归纳法原理中的二者择一的公式化.更确切地说,两个都是等价的
数学归纳法有两个关键点需要牢记
1.证明当n为某一个值时,结论是成立的.
2.假定n=k时成立,证明n=k+1时,结论也是成立的.
第一条的证明是第二条假设能够成立的依据.可以想象,有了第一条的证明,比如n=1时成立,那么在第二条中假定n=k时成立,就有了依据.这时k=1.
经过第二条的证明,k=2时结论也就成立了.于是在k=2时假设是一定成立的.
如果没有第一条的证明,那么第二条的假设就不一定成立了.
数学归纳法有两个关键步骤：
1.证明当n为某一个值时,结论成立；
2.假定n=k时成立,证明n=k+1时,结论也成立.
如果只证明第二条,不证明第一条的话,是会出现你说的矛盾,这个叫循环论证,是不严密甚至是错的.
一定要先证明一个特殊情况成立的时候才能用第二步证明其他情况也成立.
举例：
求证:5个连续自然数的积能被120整除
答案：
1、当n=1时1*2*3*4*5=120,能被120整除,原命题成立
2、假设当n=k时原命题成立,则当n=k+1时
（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）
=k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
+5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）
因为k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
只需证5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是120的倍数
即欲证（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）是24的倍数
四个数中两奇两偶,一定有4的倍数,3的倍数,还有另一个偶数,所以一定能被4*2*3=24整除 .
即当n=k+1时原命题成立
所以,综合1、2、,原命题对任何自然数成立
又一例：
已知：a1=1/2,1+an=3an/3+an(n属于正整数),则an=
an=3/(n+5)
a1=1/2=3/6
a2=3/7,a3=3/8,a4=3/9,a5=3/10.
猜想：an=3/(n+5)
证明：当n=1时,a1=1/2=3/6
假设当n=k时成立,即:ak=3/(k+5)
则当n=k+1时有ak+1=3ak/(3+ak)
=[9/(k+5)]/[3+3/(k+5)]
=9/3(k+5+1)
=3/[(k+1)+5]
即当n=k+1时假设成立.
所以an=3/(n+5) （n为正整数）