作业帮线性代数中矩阵和秩的相关问题求解；
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 13:15:58
线性代数中矩阵和秩的相关问题求解；
我们知道当矩阵A为n阶矩阵的时候,当矩阵A的秩为1的时候,那么第一：一定存在两个非零的列向量a,b使得A=ab（转置）；第二：a（转置）b=矩阵A对角线元素之和；我想知道,如果矩阵A不是n阶矩阵,而是一个n*m的矩阵,如果其秩为1,第一条性质是否还存在,我知道第二条不存在,因为根本不是对称的矩阵；谢谢
我们知道当矩阵A为n阶矩阵的时候,当矩阵A的秩为1的时候,那么第一：一定存在两个非零的列向量a,b使得A=ab（转置）；第二：a（转置）b=矩阵A对角线元素之和；我想知道,如果矩阵A不是n阶矩阵,而是一个n*m的矩阵,如果其秩为1,第一条性质是否还存在,我知道第二条不存在,因为根本不是对称的矩阵；谢谢
秩一矩阵一定可以写成A=xy^T的形式
道理很简单,取可逆方阵P,Q把A化到相抵标准型
A=PDQ^T
其中D型如
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
因为rank(A)=rank(D)=1
既然如此,把P的第一列记成x,Q的第一列记成y,那么A=xy^T (把P和Q都按列分块,用分块乘法证明)
再问： 也就是只要秩为1,就可以写成这个形式？只是此时P,Q是不同维数的对吗？谢谢
再答： 对
道理很简单,取可逆方阵P,Q把A化到相抵标准型
A=PDQ^T
其中D型如
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
因为rank(A)=rank(D)=1
既然如此,把P的第一列记成x,Q的第一列记成y,那么A=xy^T (把P和Q都按列分块,用分块乘法证明)
再问： 也就是只要秩为1,就可以写成这个形式？只是此时P,Q是不同维数的对吗？谢谢
再答： 对