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在三角形abc中,向量OA*sinA+向量OB*sinB+向量OC*sinC=O向量,则O为____心

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/06 11:29:00
在三角形abc中,向量OA*sinA+向量OB*sinB+向量OC*sinC=O向量,则O为____心
向量OA*sinA+向量OB*sinB+向量OC*sinC=O向量,则O为内心
此类问题有一个统一的解法,O为三角形内一点,必存在x,y,z使得
xOA+yOB+zOC=0,（这里的大写字母和0表示向量）
形式工整的结论有：O为内心、外心、垂心、中心,甚至还有费尔马点等等!
就拿O为内心为例(r为内切圆半径）
|OA|=r/(sinA/2),|OB|=r/(sinB/2),|OC|=r/(sinC/2)
OA,OB夹角为π-(A+B)/2=π/2+C/2,其余弦值为-sinC/2(其余同样有类似结果）
假设OC=αOA+βOB(*)
两边同乘以OA得
(r/sinA/2)(r/sinC/2)(-sinB/2)=α(r/sinA/2)^2
+β(r/sinB/2)(r/sinA/2)(-sinC/2)
即
-sinA/2sin^2B/2=αsinB/2sinC/2-βsinA/2sin^2C/2
(*)两边同乘以OB得
-sinB/2sin^2A/2=-αsinB/2sin^2C/2+βsinA/2sinC/2
再利用A+B+C=π就可解出
α=-sinA/sinC,β=-sinB/sinC
于是就有OAsinA+OBsinB+OCsinC=0
再由正弦定理
aOA+bOB+cOC=0
类似的推出
O为外心、（斜三角形的）垂心时的结论!
若O为△ABC内一点,向量OA*向量OB=向量OB*向量OC=向量OC*向量OA,则O为三角形的什么心 已知三角形ABC中,O为平面内一点,且设向量OA=向量a,向量OB=向量b,向量OC=向量c 已知点O为三角形ABC的重心,且OA=2,则向量OA*(向量OB+向量OC)= 已知O是三角形ABC的外心,且向量OP=向量OA+向量OB+向量OC,向量OQ=1/3（向量OA+向量OB+向量OC), 在三角形ABC中,AC=2,BC=6.已知O为三角形ABC内的一点,向量OA+3向量OB+4向量OC=零向量,则向量OC 平面向量的线性运算O是三角形ABC内一点,满足向量OA+向量OB+向量OC=0,|向量OA|=|向量OB|=|向量OC| 若O是三角形ABC所在平面内一点,且满足|向量OB-向量OC|=|向量OB+向量OC-2向量OA|,则三角形ABC的形状 O为三角形ABC一点.且满足向量OA+向量OB+向量OC=.则点O为该三角形的什么心 在三角形ABC中有一点O,使得向量OA+2向量OB+2向量OC=0,则三角形ABC与三角形OBC的面积比是多少? 设O在三角形ABC内部,且有OA向量+2OB向量+3OC向量=0向量,则三角形ABC与三角形AOC的面积之比为____ 若O为三角形ABC的内心,且满足(向量OB-向量OC)*(向量OB+向量OC-2向量OA)=0 已知点O是三角形ABC的重心,求向量OA+向量OB+向量OC=?