已知抛物线…已知抛物线y方=2px(p>0)和点A(5,0),A点到抛物线上的点最短距离为4(1)求此抛物线的方程(2)

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 13:48:03

已知抛物线…
已知抛物线y方=2px(p>0)和点A(5,0),A点到抛物线上的点最短距离为4
(1)求此抛物线的方程
(2)设A、B是抛物线上的两点,当OA垂直OB时,求证：直线AB恒过定点Q,并求q点坐标

（1）依题意知,抛物线开口向右,顶点在原点,设抛物线上任一点M(xo,yo),则
xo≥0,且yo²=2pxo
MA²=(xo-5)² +yo²=(xo-5)² +2pxo=xo² -(10-2p)xo+25=令=g(x)
则g(x)是一个二次函数,开口向上,对称轴为x=5-p
下面来求g(x)在x≥0上的最小值.
当对称轴在y轴左侧时,5-p5,此时g(x)在x≥0上是单调的增函数,所以g(x)在x=0时取得最小值.
最小值= g(0)=25,所以,A点到抛物线上的点最短距离为5,与题设矛盾,不成立.
当对称轴在y轴右侧时,5-p≥0,即p≤5,此时g(x)在x≥0上先递减后递增,所以g(x)在对称轴x=5-p处取得最小值.
最小值= g(5-p)= -p²+10p,依题意得
-p²+10p=4²,结合p>0及p≤5,解这个方程得p=2
综上所述,抛物线的方程为y²=4x
(2)设AB的直线方程为x=ky+b,(b≠0),代入抛物线方程消x得
y²-4ky-4b=0
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理有
y1+y2=4k
y1y2= -4b
向量OA= (x1,y1)、向量OB(x2,y2)
因为OA⊥OB,所以向量OA*向量OB=0,即
(x1,y1)*(x2,y2)=0,化简得
x1x2+y1y2=0
(ky1+b) (ky2+b)+y1y2=0
(k²+1) y1y2+kb(y1+y2)+b²=0
(k²+1)*(-4b)+kb*(4k)+b²=0
解得b=4
所以AB的直线方程为x=ky+4,令y=0得x=4,所以无论k为何值,直线AB恒过定点(4,0)
故原题得证,直线AB恒过定点Q(4,0)

已知抛物线y平方=2px(p>0)的焦点为F 点是抛物线上横坐标为且位于x轴上方点A到抛物线焦点距离为5 求抛物线方程已知抛物线y^2=2px（p〉0）上的点M到定点A（3,2）和焦点F的距离之和的最小值为5.求此抛物线的标准方程. 已知抛物线y^2=2px(p>0),其焦点为F,且点(2,1)到抛物线准线的距离为3.求抛物线的方程已知点A(m,3)在抛物线y^2=2px(p>0)上,它到抛物线焦点F的距离为5若m>0求抛物线方抛物线切线方程已知抛物线方程为y^2=2px,抛物线上一点M(a,b),求过M点的抛物线的切线方程~ 已知抛物线C:y方=2px(p>0)过点A(1,-2).求抛物线C的方程,并求其准线方程 1、已知点A（-2,3）到抛物线y^2=2px（p大于0）焦点F的距离是5,求抛物线方程. 已知抛物线C:y^2=2px上一点p(4,m)到其焦点F的距离为5,求实数m和p.已知点Q（3,0）,点A在抛物线上,问已知抛物线y平方=2px(p>0)上的一点A(1,a)到它的焦点F的距离为2,其中a>0⑴求抛物线的方程及点A的坐标 . 已知A(-4,0),B(2,3),求抛物线x=y²上的点P到直线AB的最短距离已知抛物线yˇ2=2px(P＞0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离为5 已知抛物线y2=2px(p>0),点M(4,m)在抛物线上,若点M到抛物线焦点的距离为6.求抛物线方程及实数m的值