式子转化:y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx)

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 03:57:05

式子转化:y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx)
y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx) 原方程可写成dy/dx=y^2/(xy-x^2) 对怎么分离dy/dx和y^2/(xy-x^2) 能说下吗,

dy/dx=y^2/(xy-x^2),分子分母同时除以x^2
即dy/dx=(y/x)^2 / (y/x -1)
这时令y/x=u,
那么y=ux,所以dy/dx=u+x*du/dx,
代入得到u+x*du/dx= u^2/(u-1),
即x*du/dx=u/(u-1),
所以(1 -1/u)*du=1/x *dx,
两边积分得到u-lnu =lnx+C,(C为常数)
即u=ln(ux),带回y/x=u,
故y/x=lny+C,(C为常数) 隐函数也不必再化简了
对于这种可以转换得到dy/dx=f(y/x)形式的微分方程称为齐次方程,
就是要令u=y/x,这样转换来解
再问：其实想问的是y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx)，y^2=xy(dy/dx)-x^2(dy/dx)=(xy-x^2)y' 然后y‘=y^2/(xy-x^2) 这个移项的过程原来不明，不过现在知了，不过也谢谢了
再答：是的，由y^2+x^2(dy/dx)=xy(dy/dx)得到y^2=xy(dy/dx)-x^2(dy/dx)=(xy-x^2)y' 然后y‘=y^2/(xy-x^2)
再问：还有个问题，希望能解答下∫dy/ylny=∫dx/x 解出 ln|lny|=ln|x|+lnc ∫dx/x 解出不是ln|x|+c ？为什么是 ln|x|+lnc ？
再答：这两种写法都是可以的呢，你想，c是一个常数，那么lnc当然也是一个常数，所以 ∫dx/x =ln|x|+c 或者写成 ∫dx/x =ln|x|+lnc 当然都是可以的在这里这样写主要就是为了后面的计算方便， ln|lny|=ln|x|+lnc，两边同时e次幂，即|lny|=e^(ln|x|+lnc)=c*|x| 如果是写ln|lny|=ln|x|+c的话就得到|lny|=e^(ln|x|+c)=(e^c) *|x| 看起来麻烦一些常数是可以变异的，要有这个概念

(x^2)dy+（y^2)dx=dx-dy 解微分方程y^2+(x^2)(dy/dx)=xy(dy/dx) 求解微分方程 x^2*dy/dx=xy-y^2 dy/dx=1+x+y^2+xy^2 求齐次微分方程dy/dx=y^2/xy-x^2 dy/dx=xy/x^2-y^2 x^2+xy+y^3=1,求dy/dx 解微分方程 (x^2y^3+xy)dy=dx dy/dx=(x^4+y^3)/xy^2 dy/dx=(x+y^3)/xy^2 微分方程求解 (x^2y^3+xy)dy=dx dy/dx=y^2/(x-xy)是齐次方程吗