作业帮如何证明1,x,x^2,x^3,...,x^n线性无关? 麻烦给出详细证明 谢谢
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 11:48:06
如何证明1,x,x^2,x^3,...,x^n线性无关? 麻烦给出详细证明 谢谢
最好不是反正法
最好不是反正法
设k[0],k[1],...,k[n]满足k[0]+k[1]x+k[2]x^2+...+k[n]x^n = 0.
即多项式f(x) = k[0]+k[1]x+k[2]x^2+...+k[n]x^n恒等于0.
取数域中n+1个两两不同的数x[1],x[2],...,x[n+1],代入得
k[0]+k[1]x[1]+k[2]x[1]^2+...+k[n]x[1]^n = 0,
k[0]+k[1]x[2]+k[2]x[2]^2+...+k[n]x[2]^n = 0,
...
k[0]+k[1]x[n+1]+k[2]x[n+1]^2+...+k[n]x[n+1]^n = 0.
这是关于k[0],k[1],...,k[n]的齐次线性方程组.
系数行列式是非零的Vandermonde行列式.
因此只有零解,即k[0] = k[1] = ...= k[n] = 0.
故1,x,...,x^n线性无关.
即多项式f(x) = k[0]+k[1]x+k[2]x^2+...+k[n]x^n恒等于0.
取数域中n+1个两两不同的数x[1],x[2],...,x[n+1],代入得
k[0]+k[1]x[1]+k[2]x[1]^2+...+k[n]x[1]^n = 0,
k[0]+k[1]x[2]+k[2]x[2]^2+...+k[n]x[2]^n = 0,
...
k[0]+k[1]x[n+1]+k[2]x[n+1]^2+...+k[n]x[n+1]^n = 0.
这是关于k[0],k[1],...,k[n]的齐次线性方程组.
系数行列式是非零的Vandermonde行列式.
因此只有零解,即k[0] = k[1] = ...= k[n] = 0.
故1,x,...,x^n线性无关.
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