依次求（1）证明方程e^x+x^(2n+1)=0有唯一的实根Xn （2）证明limn→∞ Xn存在并且求其值A

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 14:07:46

依次求（1）证明方程e^x+x^(2n+1)=0有唯一的实根Xn （2）证明limn→∞ Xn存在并且求其值A
（3）证明当n→∞时,Xn-A与1/n是同阶无穷小

(1)令f(x)=e^x+x^(2n+1).可得f'(x)=e^x+(2n+1)*x^(2n),f'(x)>0.所以这是一个单调增函数,而容易看出来,当x为负值时,如x=-1,f(x)0时,f(x)>0.所以在（-1,0)之间必有唯一的实根Xn.
(2)先证明Xn随着n增大递减,如假设n=k时,有e^(Xk)+(Xk)^(2k+1)=0,当我们取n'=k+1时,有方程e^(Xk)+(Xk)^(2n'+1)>0(因为(Xk)^(2n'+1)> (Xk)^(2k+1).) 所以,可知,应有Xn‘
再问： x^(2n+1)=-(1-k/n)^(2n+1)=-(1-k/n)^[-n/k*(-2k+k/n)]=-e^(-2k+k/n),有点不懂
再答：哦，这是e函数的一个公式，lim x→0(1+x)^(1/x)=e. 所以，取x=-k/n, 有(1-k/n)^(-n/k)=e, 所以，(1-k/n)^[-n/k*(-2k+k/n)]=e^(-2k+k/n)。
再问： (1-k/n)^(2n+1)=-(1-k/n)^[-n/k*(-2k+k/n)]中 2n+1应该=-n/k*(-2k-k/n)吧
再答：哦，是的，你说的对，我发现问题主要出在，xn=k/n-1上了，现在运用 lim x→0(1+x)^[(1/x)*(x*(2n+1))]=e^(x*(2n+1))，有2n+1的存在，不能只考虑xn-A的一阶无从小，还需考虑二阶，应有xn~k/n-1+c/(n^2)，如此，应令x=-[k/n+c/(n^2)]，而x*(2n+1)=-2k-k/n-2c/n-0(1/n^2), 而另一方面e^(xn)=e^(-1+k/n+c/(n^2))，只要k=1/2，且c=-1/2，就满足一阶无穷小等价了，指数里还有0(1/n^2)二阶小量没有消掉，不过考虑它只要求一阶无穷小而可以忽略它？？这个算法还是不怎么严谨。对了，不要直接去构造，xn的具体形式了，且令xn-A=fn，显然有n→∞，fn→0，所以， xn^(2n+1)=(fn-1)^(2n+1)=-(1-fn)^(2n+1)=-e^[-fn*(2n+1)], 而e^xn=e^(fn-1)，所以有 -fn*(2n+1)=fn-1， fn相对于1是无穷小量，所以有fn*(2n+1)~1，所以fn与1/n是同阶无穷小。

1.设X1>a>0,且Xn+1=根号aXn（n=1,2,……）,证明limn→∞Xn存在,并求此极限值设x>0,xn+1=(xn+a/xn)/2,其中a>0,证明lim xn(n趋近于∞）存在,并求之. 证明方程X^n+X^n-1+.+X^2+X=1在（0,1）内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限（n= 设方程x^n+nx-1=0.证明：1 方程存在唯一正根xn 2 对于常数α>1,证明xn^α的级数收敛设X1=1,Xn=1+X（n-1）/[1+X(n-1)],证明Xn在n趋向于无穷大时极限存在,并求其值设x1>0,Xn+1=1/2（Xn+1/Xn）（n=1,2,3.n）,证明数列极限Xn n趋向无穷存在并且求极限值. 设x1>0,Xn+1=1/2（Xn+1/Xn）（n=1,2,3.n）,证明数列极限Xn n趋向无穷存在并且求极限值 x1=1,x2=1+x1/(1+x1).xn=1+x(n-1)/[1+x(n-1)]证明lim(n→∞)xn存在,并求其方程x^n+x=1(n≥1自然数,在x≥0上有唯一解记为Xn)证明数列{Xn}有极限,且lim n→无穷,Xn=1..这证明数列收敛求极限设X1>0 a>0 且 X(n+1)=1/2(Xn+a/Xn) 求数列｛Xn｝极限证明：若X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+2/Xn),n=1,2,.,则数列{Xn}收敛,并求其极限. 证明极限存在X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)