分段函数f(x),f(0)=0,=0时,f(x)=exp(-1/x^2),求f(x)在0处的任意阶导数值.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 19:12:08

看上去你知道结论但不会严格证明,楼上几位提供的证明从严谨性上讲也确实有所不足,我给你演示一下,希望你能明白一些细微地方的技术运用.
首先,当x!=0时,f的n阶导数为
f^{(n)}(x) = exp(-1/x^2)P_n(1/x),
其中P_n(t)是一个3n次多项式,这一步用归纳法证明,P_n可由递推关系P_{n+1}(t) = t^2 P_n'(t) + 2t^3 P_n(t)确定.
下一步证明对任何实数k>0,lim{x->0} exp(-1/x^2) / x^k = 0 （当然k=1时lim{x->0} f^{(n)}(x) = 0以及f^{(n)}(0) = lim{x->0} [f^{(n-1)}(x)-0]/x = 0,也就是说f^{(n)}(x)在0点连续、f^{(n)}(0)存在且为0（这里也需要逐步递推,因为需要f^{(n-1)}(0)=0及连续性才能继续讨论f^{(n)}(0)）.
当然,如果要非常严谨的证明,对于各处归纳法的使用都要注意验证归纳基础,这样逻辑上才是完整的.
再问：的确严谨多了，佩服！不过 P_n(t)的递推关系应当是P_{n+1}(t) = -t^2 P_n'(t) + 2t^3 P_n(t)吧，少了个负号
再答：对的，漏了个负号

分段函数f(x),f(0)=0,=0时,f(x)=exp(-1/x^2),求f(x)在0处的任意阶导数值. 用第一定义求分段函数f(x),f(0)=0,=0时,f(x)=exp(-1/x^2)在x=0的二阶,三阶导数求分段函数f（x）=x+1 f(x)=x f(x)=1在x=0和x=1处的极限设f(x)在R上满足f(x)的导数=2f(x),且f(0)=1,求函数f(x) x-2 ,X>=0 f(x)=f[f(x+5)],x分段函数f(x)= x-2 ,X>=0 f[f(x+5)],x 分段函数f(x)=sinx (x>=0时);f(x)=x^2(x 如果函数y=f(x)在x=0处导数存在,且f(x)=f(-x),求f'(0)的值. 分段函数f(x)=x+1(x>=0),x(x小于0).要求f(x)在x等于0时的左右导数还有lim(x趋近于0正时）f( 如何画出分段函数f(x)=2^x-1,x≤0;f(x)=f(x+1),x 分段函数f(x)={(1+x)^(1/x)-e,x≠0 0 ,x=0},求f（x）在点x=0处的导数, 一道关于导数的数学题当x>0时分段函数f(x)=x^2sin1/x,x≤0时f(x)=ax+b.已知该分段函数在x=0处已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.求f(0)与f(1)的值.