证明：没一个正整数都能表示成四个整数的平方和.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 23:01:37

证明：没一个正整数都能表示成四个整数的平方和.
打错了.
证明：每一个正整数都能表示成四个整数的平方和.
"证存在最小的整数n 使奇质数*n=1+x^2+y^2
最后证 n=1"对于这个能不能详细点

这个问题很复杂的大致思路说一下中间涉及的问题很多首先要证每一个质数能表示成四个整数的平方和由于每一个正整数均可表示为质数的乘积形式所以可证出若质数能表示成四个整数的平方和则所有的正整数即可表示成四个整数的平方和具体证明就是假设质数能表示成四个整数的平方和后将质数相乘可化为四个整数的平方和
接下来由于2=1+1+0+0 成立
下来证存在正整数n小于p 使奇质数p*n=1+x^2+y^2
最后证 n=1（为最小值）
楼主学过原根指数指标同余么
如果没学过就不用奢求完全明白了
如果学过说一声我会看情况补充一些详细的证明
不好意思最近有些忙晚了些
那我就先证一下存在性 p在这里代表奇质数
易知 0 1 ...[(p-1)^2]/2 -1.-1-[(p-1)^2]/2 这p+1个数中
必存在两个数关于p同余（这是由于p的完全剩余系只有p个数）故存在x y均小于(p+1)/2 使得x^2≡-1-y^2 (modp)
由于1+ (p-1)^2 小于p^2 所以存在正整数n小于p 使奇质数p*n=1+x^2+y^2
所以pn=(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2+(x4)^2
第二步将会更加复杂
即证n的最小值为1 令m为最小的n
假定m为偶数则=(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2+(x4)^2是偶数
若x1 x2 x3 x4 均为偶数则有公因数4 p为单数则m为4的倍数存在m/4使得上式也成立与m的定义矛盾
若为两双两单由于对称性不妨设 x1 x2为双 x3 x4 为单则x1+x2,x1-x2,x3+x4,x3-x4都为双数则(1/2)mp=[(x1+x2)/2]^2+ [(x1-x2)/2]^2+[(x3+x4)/2]^2+[(x3-x4)/2]^2成立则1/2m小于m 矛盾
假定m大于等于3 且m不能整除x1 x2 x3 x4 的公因数否则m会整除p 矛盾
故存在不全为零的四个数y1 y2 y3 y4 使得yi≡xi(modm) yi小于1/2m i=1,2,3,4
(y1)^2+(y2)^2+(y3)^2+(y4)^2≡0 (modm)且小于m^2 即（y1)^2+(y2)^2+(y3)^2+(y4)^2
=am a大于0 小于m
则(m^2)*ap=（z1)^2+(z2)^2+(z3)^2+(z4)^2
其中z1=x1y1+x2y2+x3+y3+x4y4≡0(modm)
z2 ≡0 z3≡0 z4≡0(modm)
(此处的z1 z2 z3 z4 须自己配第一个已给出后面三个也为类似形式只是加减需作调整）
故ap=(t1)^2+(t2)^2+(t3)^2+(t4)^2
由于a小于m 所以矛盾
综上命题成立

一个数论题.证明：如果正整数N可以表示是为都是3的倍数的三个整数的平方和,那么,它一定可以表示为都不是3的倍数的三个整数在1~100中,既能表示成两个整数的平方差,又能表示成两个整数平方和的正整数共有多少个? 若一个正整数可以表示为两个整数的平方和,探究这个正整数的2倍能否表示为两个整数的平方和.请写出探究过数论证明奇素数p能表示成两个正整数的平方和的充要条件是p=4m+1 试求最小的正整数,他可以被表示为四个正整数的平方和,且可以整除形如2+15的整数,其中n为正整数. 如果4X+1,是一个质数,（X是正整数）则4X+1必然能够表示成两个整数的平方和? 如果自然数m,n满足(m+1)^3-m^3=n^2,证明n能表示成2个整数的平方和. 证明：任何一个正整数均可以表示为两个互质整数的和正整数平方和函数猜想∶存在一个函数M=f(n),任何一个大于M的整数总能分成n个正整数的平方和.其中任何一个函数都能表示成一个偶函数和一个奇函数的和 .证明之求所有正整数对(m,n)使得5^m+5^n可以表示成为两个整数的平方和如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么成这个正整数