作业帮某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 19:33:00
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（Ⅰ）求第n年初M的价值an的表达式；
（Ⅱ）设An＝
（Ⅰ）求第n年初M的价值an的表达式；
（Ⅱ）设An＝
| a1+a2+…+an |
| n |
（I）当n＜6时，数列{an}是首项为120，公差为-10的等差数列
an=120-10（n-1）=130-10n
当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为
3
4的等比数列，又a6=70
所以an＝70×(
3
4)n−6
因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝
130−10n(n≤6)
70× (
3
4)n−6(n≥7)
（II）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn=120n-5n（n-1），An=120-5（n-1）=125-5n
当n≥7时，由于S6=570故
Sn=S6+（a7+a8+…+an）=570+
70×
3
4×[1−(
3
4)n−6]
1−
3
4=780−210×(
3
4)n−6An＝
780−210×(
3
4)n−6
n
因为{an}是递减数列，
所以{An}是递减数列，
又A8＝
780−210×(
3
4)2
8＝82
47
64＞80
A9＝
780−210×(
3
4)3
9＝76
79
96＜80
所以须在第9年初对M更新．
an=120-10（n-1）=130-10n
当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为
3
4的等比数列，又a6=70
所以an＝70×(
3
4)n−6
因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝
130−10n(n≤6)
70× (
3
4)n−6(n≥7)
（II）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn=120n-5n（n-1），An=120-5（n-1）=125-5n
当n≥7时，由于S6=570故
Sn=S6+（a7+a8+…+an）=570+
70×
3
4×[1−(
3
4)n−6]
1−
3
4=780−210×(
3
4)n−6An＝
780−210×(
3
4)n−6
n
因为{an}是递减数列，
所以{An}是递减数列，
又A8＝
780−210×(
3
4)2
8＝82
47
64＞80
A9＝
780−210×(
3
4)3
9＝76
79
96＜80
所以须在第9年初对M更新．
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