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（2011•杭州一模）已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/30 15:16:06
（2011•杭州一模）已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）
（1）当a=
1
2
（1）当a＝
1
2时，f(x)＝
1
2x2+lnx，f′(x)＝x+
1
x＝
x2+1
x；
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴fmax(x)＝f(e)＝1+
e2
2，fmin(x)＝f( 1 )＝
1
2．
（2）①在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）
令p(x)＝f(x)−f2(x)＝(a−
1
2)x2−2ax+lnx＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f1（x）-f（x）=−
1
2x2+2ax−a2lnx＜0对x∈（1，+∞）恒成立，
∵p′(x)＝(2a−1)x−2a+
1
x＝
(2a−1)x2−2ax+1
x＝
(x−1)[(2a−1)x−1]
x
1）若a＞
1
2，令p′（x）=0，得极值点x1=1，x2＝
1
2a−1，
当x2＞x1=1，即
1
2＜a＜1时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
2）若a≤
1
2，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足p(1)＝−a−
1
2≤0⇒a≥−
1
2，
所以−
1
2≤a≤
1
2．
又因为h′（x）=-x+2a-
a2
x=
−x2+2ax−a2
x＝
已知函数f（x）=ax2-（a+2）x+lnx，a∈R （2014•安阳一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+x，a∈R． 已知函数f（x）=ax2+bx-lnx，a，b∈R． 已知函数f（x）=12ax2+（1-a）x-1-lnx，a∈R． 函数f（x）=lnx-ax2（a∈R）． （2014•杭州二模）设f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），e为自然对数的底数．若f′（x）lnx＞f(x)x 已知函数f（x）=2分之1ax2-lnx a∈R 1.求函数f（x）的单调区间 2.若函 （2011•深圳一模）已知函数f(x)＝lnx+ax+1(a∈R)． （2012•资阳一模）已知函数f（x）=2lnx-x2+ax，a∈R． （2014•西城区一模）已知函数f（x）=lnx-ax，其中a∈R． 已知函数f（x）=lnx+ax2-2bx（a，b∈R），g（x）=2x−2x+1-clnx． （2011•杭州二模）已知函数f(x)＝12x2+(a−3)x+lnx．