函数数学证明题如何证明e>(1+1/x)^x即e大于 1加上x倒数的和的x次方证明时候要用到，但是我知道它成立，不知道如

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 02:52:06

函数数学证明题
如何证明
e>(1+1/x)^x
即e大于 1加上x倒数的和的x次方
证明时候要用到，但是我知道它成立，不知道如何证明...最好用简单的方法...

你的问题里漏了一个条件：x>0,否则是不成立的.下面给出证明：
1.先用推理的方法“转化”原题：
要证原题e>(1+1/x)^x,即要证ln(e)>x*ln(1+1/x),即要证1>x*ln(1+1/x).因为x>0,因此,即要证：1/x>ln(1+1/x).观察到两边都有整数1/x,因此,为了简化,可以设a=1/x.于是,即要证：a>ln(1+a),即要证：a-ln(1+a)>0（其中a>0）.
2.再来证明a-ln(1+a)>0 (其中a>0)
构造函数y(a)=a-ln(1+a),则y'(a)=1-1/(1+a)=a/(1+a),因为a>0,所以y'(a)=a/(1+a)>0,即：函数在(0,正无穷）上是严格单调递增的.因为初始值y(0)=0,所以可以得出结论：在(0,正无穷）上,y恒大于0.因此,当a>0时,必有：a-ln(1+a)>0.
3.由于上述推理步骤步步可逆,因此,原命题成立.
写得较为仔细,所以看上去显得罗嗦了一点,其实很简单很简单的.不过,由于你说自己是高中学生,所以可能没学过导数,所以,在理解我的第2步时可能会有麻烦.对此我感到抱歉了,因为目前我还没想到用非高等数学的方法来证明a-ln(1+a)>0(其中a>0),你若想到,请指教.

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