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点P是等腰直角三角形ABC的底边BC延长线上的一点,过P作BA,AC的垂线,垂足分别为E,F,设D为BC的中点,则有DE

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/27 21:52:33
点P是等腰直角三角形ABC的底边BC延长线上的一点,过P作BA,AC的垂线,垂足分别为E,F,设D为BC的中点,则有DE垂直与DF吗,试说明.若P为线段BC上一点,DE还垂直DF吗
(1)、DE⊥DF
理由:
∵D是直角三角形ABC斜边上的中点
∴AD=DC
∵PE⊥BE,PF⊥AF,FA⊥BE
∴四边形AEPF是矩形
∴PF=AE
∵Rt△PFC中,∠FCP=∠ACB=45度
∴PE=FC
∴FC=AE
∵FC=AE,∠EAD=∠DCF=180度-45度=135度,AD=DC
∴△EAD≌△FCD(SAS)
∴∠CDF=∠ADE
∵∠ADE+∠EDC=90度
∴∠CDF+∠EDC=90度
∴DE⊥DF
(2)、DE⊥DF
理由:分三种情况.
第一种情况,当P在BC的中点处.(即P和D重合)
∵∠EDF=180度-∠BED-∠CDF=180度-45度-45度=90度
∴DE⊥DF
第二种情况,当P在D、C中间的时候,可类比上面的过程证△EAD≌△FCD(SAS),其他与上面证明过程雷同.
第三种情况,当P在B、D中间的时候,可类比上面的过程证△EBD≌△FAD(SAS),其他与上面证明过程与上面类似.