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高数求定积分题目∫ 上面是1/2,下面是-1/2 .1/√（1-x^2） 括号内部分在根号内 dx∫ 上面是 √(3)a

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 16:05:41
高数求定积分题目
∫ 上面是1/2,下面是-1/2 .1/√（1-x^2） 括号内部分在根号内 dx
∫ 上面是 √(3)a 3在根号内 a在根号外,下面是0.1/（a^2+x^2） dx
上面一题我在做的时候把1/√（1-x^2） 化成arcsinx 但根据莱布尼茨公式 将1/2和-1/2带入后就不知道怎么解了,同样下面一题也是.
1、∫(-1/2,1/2) 1/√(1-x^2)dx=arcsinx|(-1/2,1/2)=arcsin(1/2)-arcsin(-1/2)=π/6-(-π/6)=π/3
2、∫(0,√3*a) 1/(a^2+x^2)dx=∫(0,√3*a) 1/a*a/(a^2+x^2)dx=1/a*∫(0,√3*a) darctan(x/a)
=1/a*arctan(x/a)|(0,√3*a)=1/a*(arctan√3-arctan0)=π/(3a)
（用到：[arctan(x/a)]'=1/[1+(x/a)^2]*(1/a)=a/(a^2+x^2)）
积分后根据牛顿—莱布尼兹公式直接将上下限代入作差即可.
再问： 我之前不知道arcsin1/2是π/3,也不知道arctan√3=π/3,反三角函数的值如何算的呢？有没有相应的表？
再答： 有反三角函数表可以查到。但作为学生来讲，要记住几个具体的三角函数值，如： sin0=0，sin(π/6)=1/2，sin(π/4)=√2/2，sin(π/3)=√3/2，sin(π/2)=1； cos0=1，cos(π/6)=√3/2，cos(π/4)=√2/2，cos(π/3)=1/2，cos(π/2)=0； tan0=0，tan(π/6)=√3/3，tan(π/4)=1，tan(π/3)=√3，tan(π/2)=+∞ 自然的，反三角是反过来对应的，如arctan1=π/4,arctan√3=π/3 但是要记住反三角函数的值域： arcsin(x)的值域为[-π/2,π/2] arccos(x)的值域为[0,π] arctan(x)的值域为(-π/2,π/2)
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