作业帮已知函数f(x)＝ax+lnx−1（a是常数），
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/08 18:14:23
已知函数f(x)＝
+lnx−1
| a |
| x |
（Ⅰ）对函数求导可得，f′(x)＝
x−a
x2
当a≤0时，在定义域（0，+∞）上，f′（x）＞0恒成立，即f（x）单调增区间为 （0，+∞）；
当a＞0时，在区间（0，a）上，f′（x）＜0，即f（x）单调减区间为 （0，a）；
在（a，+∞）上，，f′（x）＞0，即f（x）单调增区间为 （a，+∞）．
（II）a=1时，f′(x)＝
x−1
x2，x∈[
1
e，e]
当x∈[
1
e，1)时，f′（x）＜0
当x∈（1，e]时，f′（x）＞0
∴x=1是函数f（x）在[
1
e，e]上唯一的极小值即为最小值
∴f（x）min=f（1）=0
∵f（
1
e）=e-2，f（e）=
1
e，而f（
1
e）-f（e）=e−2−
1
e=
e(e−2)−1
e＞0
综上可得，当a=1时，方程f（x）=m在x∈[
1
e，e]上有两解，m的范围为0＜m≤
1
e
（III）证明：若a=1，由（II）知f（x）=
1−x
x+lnx在[1，+∞）上为增函数
当n＞1时，令x=
n
n−1，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0
即f（
n
n−1）=
1−
n
n−1
n
n−1+ln
n
n−1=ln
n
n−1−
1
n＞0
∴ln
n
n−1＞
1
n
x−a
x2
当a≤0时，在定义域（0，+∞）上，f′（x）＞0恒成立，即f（x）单调增区间为 （0，+∞）；
当a＞0时，在区间（0，a）上，f′（x）＜0，即f（x）单调减区间为 （0，a）；
在（a，+∞）上，，f′（x）＞0，即f（x）单调增区间为 （a，+∞）．
（II）a=1时，f′(x)＝
x−1
x2，x∈[
1
e，e]
当x∈[
1
e，1)时，f′（x）＜0
当x∈（1，e]时，f′（x）＞0
∴x=1是函数f（x）在[
1
e，e]上唯一的极小值即为最小值
∴f（x）min=f（1）=0
∵f（
1
e）=e-2，f（e）=
1
e，而f（
1
e）-f（e）=e−2−
1
e=
e(e−2)−1
e＞0
综上可得，当a=1时，方程f（x）=m在x∈[
1
e，e]上有两解，m的范围为0＜m≤
1
e
（III）证明：若a=1，由（II）知f（x）=
1−x
x+lnx在[1，+∞）上为增函数
当n＞1时，令x=
n
n−1，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0
即f（
n
n−1）=
1−
n
n−1
n
n−1+ln
n
n−1=ln
n
n−1−
1
n＞0
∴ln
n
n−1＞
1
n
已知函数f(x)＝lnx+1x+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）．
已知函数f(x)=lnx-（a/x）,g(x)=e^x(ax+1),a为常数
已知函数f(X)=lnx+(1-x)/ax,其中a为大于零的常数
已知函数f(x)=a/x+lnx-1(a是常数）
已知函数f（x）=lnx-ax,a为常数
已知函数f（x）=lnx+（1-x）/ax,a为大于零的常数
已知函数f(x)＝lnx−ax+1−ax−1(a∈R)
已知函数f(x)=1-x/ax+lnx(a为常数)求f(x)的导数
已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R是常数.讨论函数y=f(x)零点个数
已知a∈R，函数f(x)＝ax+lnx−1，g(x)＝(lnx−1)ex+x
已知函数f(x)=lnx+ax+(a+1)/x
已知函数 f(x)=lnx+ 1-x ax ，其中a 为大于零的常数．