椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线x+y+1=0交于椭圆A,B两点,且OA垂

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 18:11:12

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线x+y+1=0交于椭圆A,B两点,且OA垂直OB,求椭圆方程

∵e＝√（a^2－b^2）/a＝√2/2,∴a^2－b^2＝a^2/2,∴a^2＝2b^2.
设椭圆与直线的交点坐标是A（m,n）,B（p,q）.
将直线方程改写成：y＝－x－1,代入椭圆方程中,得：x^2/a^2＋（－x－1）^2/b^2＝1,
∴x^2/（2b^2）＋（－x－1）^2/b^2＝1,∴x^2＋2（x＋1）^2＝2b^2,
∴x^2＋x^2＋2x＋2＝2b^2,∴3x^2＋2x＋2－2b^2＝0.
很明显,m、p的值是方程3x^2＋2x＋2－2b^2＝0的两根,由韦达定理,有：
m＋p＝－2/3,　mp＝（2－2b^2）/3.
∵OA⊥OB,又OA的斜率＝n/m,OB的斜率＝q/p,∴nq/（mp）＝－1,
而显然有：n＝－m－1,　q＝－p－1,∴（－m－1）（－p－1）/（mp）＝－1,
∴［mp＋（m＋p）＋1］/（mp）＝－1,∴mp＋（m＋p）＋1＝－mp,
∴（m＋p）＝－2mp－1,∴（2－2b^2）/3＝－2×（－2/3）－1＝－1/3,
∴2－2b^2＝－1,∴2b^2＝3,∴b^2＝3/2,得：a^2＝2b^2＝3.
∴要求的椭圆方程是：x^2/3＋y^2/（3/2）＝1.

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线x+y+1=0与椭圆交于P Q两点且已知椭圆X^2/a^2 +y ^2/b^2 =1(a>b>0)的离心率为1/2,过F1的直线交椭圆于A.B且两点三角形A 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的离心率e=根号2/2,直线x+y+1=0与椭圆交于P,Q两点, 数学题椭圆方程的题椭圆中心为原点O,焦点在x轴上,离心率e=根号2\2,直线y=x=1交椭圆于A、B两点,且△AOB的面椭圆中心为原点O,焦点在x轴上,离心率e=√2/2,直线y=x+1交椭圆于A,B两点,且△AOB的面积等于2/3 已知椭圆的离心率为根号3/2,直线y=1/2x+1与椭圆交于A,B两点,点M在椭圆上,OM=1/2OA+根号3/2ob, 椭圆中心为原点o,焦点在x轴上,离心率e=根号2/2,直线y=x+1交椭圆于A,B两点,且三角形AOB的面积=2/3, 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率=√6/3,过右焦点的直线斜率为一,交椭圆于AB两点已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F2(3,0)离心率为e,设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点,M、已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)与直线l 2x+y-2=0交于A,B两点,且OA⊥OB,椭已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上,则此椭圆的离心率为_______ 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为根号2/2,左焦点F（-2,0）若直线y=x+m与椭圆交于不同的两点