设x,y,z为正实数且x>=y>=z,求证 X2*Y/Z + Y2*Z/X + Z2*X/Y>=X2+Y2+Z2
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/24 07:14:20
设x,y,z为正实数且x>=y>=z,求证 X2*Y/Z + Y2*Z/X + Z2*X/Y>=X2+Y2+Z2
首先注意如下关系:
(x^2y/z+y^2z/x+z^2x/y) - (xy^2/z+yz^2/x+zx^2/y)
=(xy/z)(x-y) + (yz/x)(y-z) + (zx/y)(z-x)
=(xy/z)(x-y) + (yz/x)(y-z) - (zx/y)(x-y) - (zx/y)(y-z)
=(xy/z - zx/y)(x-y) + (yz/x - zx/y)(y-z)
=(y-z)(x-y)x(y+z)/yz - (x-y)(y-z)z(x+y)/xy
=(x-y)(y-z)((x/y+x/z) - (z/x+z/y))
最后一个括号中,前两项都不小于1,而后两项都不大于1,因此
(x^2y/z+y^2z/x+z^2x/y) >= (xy^2/z+yz^2/x+zx^2/y)
于是
2(x^2y/z+y^2z/x+z^2x/y)
>= (x^2y/z+y^2z/x+z^2x/y) + (xy^2/z+yz^2/x+zx^2/y)
= (x^2y/z+x^2z/y + (y^2z/x+y^2x/z) + (z^2x/y+z^2y/x)
>= 2(x^2+y^2+z^2)
(x^2y/z+y^2z/x+z^2x/y) - (xy^2/z+yz^2/x+zx^2/y)
=(xy/z)(x-y) + (yz/x)(y-z) + (zx/y)(z-x)
=(xy/z)(x-y) + (yz/x)(y-z) - (zx/y)(x-y) - (zx/y)(y-z)
=(xy/z - zx/y)(x-y) + (yz/x - zx/y)(y-z)
=(y-z)(x-y)x(y+z)/yz - (x-y)(y-z)z(x+y)/xy
=(x-y)(y-z)((x/y+x/z) - (z/x+z/y))
最后一个括号中,前两项都不小于1,而后两项都不大于1,因此
(x^2y/z+y^2z/x+z^2x/y) >= (xy^2/z+yz^2/x+zx^2/y)
于是
2(x^2y/z+y^2z/x+z^2x/y)
>= (x^2y/z+y^2z/x+z^2x/y) + (xy^2/z+yz^2/x+zx^2/y)
= (x^2y/z+x^2z/y + (y^2z/x+y^2x/z) + (z^2x/y+z^2y/x)
>= 2(x^2+y^2+z^2)
x,y,z为正实数 求证 x2/(y2+z2+yz)+y2/(z2+x2+zx)+z2/(x2+y2+xy)>=1
已知实数x,y,z满足x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1,求x2/(y+z)+y2/(z+x)+z2/(
设实数x,y,z满足x2+y2+z2-xy-yz-zx=27,则|y-z|的最大值为?
已知x,y,z满足x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1,求代数式x2/(y+z)+y2/(x+z)+z2/
若x2+y2+z2=(x+y+z)2,且x,y,z均不为零,则x+y+z/xyz=?
x、y、z是正实数,(xy+yz)/x2+y2+z2最大值为
已知:x2+y2+z2=xy+yz+zx,求证:x=y=z.
已知X,Y,Z是实数,且X2+Y2+Z2=3,X+Y+Z=1,则XYZ最大值是
设x,y,z>0,且x2+y2+z2=1,试求S=xy/z+yz/x+zx/y的最小值
设x:y:z=2:3:5,且x+y+z=20,求2x2+3y2+5z2的值( )
已知x、y、z都是实数,且x2+y2+z2=1,则m=xy+yz+zx( )
实数x,y,z满足x2+y2+z2-xy-yz-zx=27,则|y-x|的最大值