用坐标法证明椭圆上到两点焦点距离最大和最小的点恰好是椭圆长轴的两个端点

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 10:01:04

以焦点在x轴的椭圆为例.设方程为x²/a² +y²/b²=1 (a>b>0) ,
设 P(x,y)为椭圆是任一点,F1(-c,0)为左焦点
由于x²/a² +y²/b²=1,故可令x=a•cosθ,y=b•sinθ,θ∈[0,2π)
于是
|PF1|²=(a•cosθ+c)²+b²sin²θ
=a²cos²θ+2ac•cosθ+c²+b²sin²θ
=(b²+c²)cos²θ+2ac•cosθ+c²+b²sin²θ
=b²+c²•cos²θ+2ac•cosθ+c²
=c²•cos²θ+2ac•cosθ+a²
=(a+c•cosθ)²
所以 |PF1|=|a+c•cosθ|=a+c•cosθ
当cosθ=1时(sinθ=0),|PF1|最大为a+c,
此时,x=acosθ=a,y=bsinθ=0,即P(a,0)为长轴的右端点.
当cosθ=-1时(sinθ=0),|PF1|最小为a-c,
此时,x=acosθ=-a,y=bsinθ=0,即P(-a,0)为长轴的左端点.
注：1.P点到右焦点的情况是同理的.
2.x=a•cosθ,y=b•sinθ,θ∈[0,2π)实际上是椭圆的参数方程,用椭圆的参数方程解题,将几问题转化为三角函数,常常可使问题得到解决.

如何证明椭圆上的点到焦点最大距离是a+c,最小距离是a-c? 如何证明椭圆上的点到焦点最大距离是a+c,最小距离是a-c 若椭圆上的点p到焦点的距离最小则p点是椭圆短轴的端点吗已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在X轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,椭圆上一点到焦点的最大距离为√2+ 一道关于椭圆的数学题已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在X轴,椭圆C上的点到焦点距离最大为3,最小为1若直线L：y＝kx+ 如何证明椭圆上的点到焦点最大距离是a+c,最小距离是a-c （不要抄袭,网上那个看不懂）已知椭圆的中心在原点,长轴在x轴上,若椭圆上有一点P到两焦点的距离分别是5/2和3/2,且过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的椭圆上哪一点到焦点的距离最小,为什么?求证明求椭圆的标准方程,两个焦点坐标分别是（-4,0）、（4,0),椭圆上一点P到两点的距离之和等于10 椭圆x^2/9+y^2/25=1上到两个焦点距离之积最大的点的坐标是? 已知椭圆的中心在坐标原点,它在x轴上的一个焦点F与短轴B1B2两端点的连线互相垂直,且F和长轴较近的端点A的距离是√10 已知椭圆中心是原点,焦点在坐标轴上,焦距等于长轴端点和短轴端点间的距离,且经过点A(根号3,根号2),求椭圆的方程