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如图,RT△ABC中,角BAC=90,AB=AC,D为BC中点,P为BC上一点,PE⊥AC与E,PF⊥AB于F.

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/17 20:26:41
如图,RT△ABC中,角BAC=90,AB=AC,D为BC中点,P为BC上一点,PE⊥AC与E,PF⊥AB于F.
求证:△DEF为等腰直角三角形
A
/ \
F /\ \
/ \ \
/ \ \ \
/ \ \ \
/ \ \ \ E
/ \ \ / / \
/ \ / / \
B --------------------------------------\/------------------\/----------------- B P C
证明:
∵∠ABC=90,AB=AC
∴∠B=∠C=45
∵D是BC的中点
∴AD=BD=CD (直角三角形中线特性),AD⊥BC (等腰三角形三线合一)
∴∠ADC=∠ADB=90
∴∠DAC=45,∠ADF+∠BDF=90
∴∠DAC=∠B
∵PE⊥AC,PF⊥AB
∴矩形AEPF,∠PFB=90
∴AE=PF,BF=PF
∴AE=BF
∴△ADE≌△BDF (SAS)
∴DE=DF,∠ADE=∠BDF
∴∠ADF+∠ADE=90
∴∠EDF=90
∴等腰RT△DEF