作业帮正项级数加括号后收敛,求证,原级数收敛
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 09:56:34
正项级数加括号后收敛,求证,原级数收敛
设正项级数∑{n=1,∞}Un加括号后构成正项级数∑{k=1,∞}Vk （Vk为k个括号求和）
Un位于第k个括号中,其中k=k(n)
∑{n=1,∞}Un的前n项部分和为Sn
∑{k=1,∞}Vk的前k项部分和为Ak
∵正项级数∑{k=1,∞}Vk收敛,∴部分和数列{Ak}有界,设Ak≤M
则Sn=U1+U2+...+Un≤V1+V2+...+Vk=Ak≤M,即数列{Sn}有界
由正项级数收敛的基本定理（正项级数部分和数列有界,则级数收敛）可知
级数∑{n=1,∞}Un收敛
Un位于第k个括号中,其中k=k(n)
∑{n=1,∞}Un的前n项部分和为Sn
∑{k=1,∞}Vk的前k项部分和为Ak
∵正项级数∑{k=1,∞}Vk收敛,∴部分和数列{Ak}有界,设Ak≤M
则Sn=U1+U2+...+Un≤V1+V2+...+Vk=Ak≤M,即数列{Sn}有界
由正项级数收敛的基本定理（正项级数部分和数列有界,则级数收敛）可知
级数∑{n=1,∞}Un收敛