有一批圆心角为90°，半径为1的扇形状下脚料，现利用这批材料截取尽可能大的正方形材料，如图有两种截取方法：方法1，如图（

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 13:12:37

有一批圆心角为90°，半径为1的扇形状下脚料，现利用这批材料截取尽可能大的正方形材料，如图有两种截取方法：方法1，如图（1）所示，正方形OPQR的顶点P、Q、R均在扇形边界上；方法2，如图（2）所示，正方形顶点C、D、E、F均在扇形边界上．图（1）、图（2）均为轴对称图形．试分别求这两种截取方法得到的正方形面积．并说明哪种截取方法得到的正方形面积更大？

如图1所示：
连接OQ，设正方形OPQR的边长为x，
则在Rt△OPQ中，
OQ²=OP²+PQ²，即1²=x²+x²，
解得x=

2
2，
∴S_{四边形OPQR}=
1
2；
如图2所示，
过O作OG⊥EF，交CD于点H，连接OF，
设FG=x，
∵四边形CDEF是正方形，
∴OH⊥CD，
∴FG=CH=x，
∵∠DOC=90°，H为CD中点，
∴CH=OH，
∴OG=OH+HG=HC+CF=x+2x=3x，
在Rt△OFG中，
OF²=GF²+OG²，即1²=x²+（3x）²，
解得x=

10
10，
∴CF=2x=

10
5．
∴S_{四边形CDEF}=
2
5，
∵
1
2＞
2
5，
∴第一种方法截取的正方形的面积最大．