作业帮下面一道有趣的数列大题,大家有空看下吧：
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 08:08:26
下面一道有趣的数列大题,大家有空看下吧：
数列{an}恒满足等式 a(n+1) = 1/2 an + √3 /2 × √(1-a²n) ,其中a1∈（1/2 ,1）
数列{bn}恒满足等式bn= an / (2^n)
求证：
1.a(n+2)=an
2.设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn＜√7 /3
数列{an}恒满足等式 a(n+1) = 1/2 an + √3 /2 × √(1-a²n) ,其中a1∈（1/2 ,1）
数列{bn}恒满足等式bn= an / (2^n)
求证：
1.a(n+2)=an
2.设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn＜√7 /3
(1)、令a1=sinα α∈(π/3,π/2)
a2=sinα*cos(π/3)+sin(π/3)*|cosα|
=sin(α+π/3)
a3=sin(α+π/3)*cos(π/3)+sin(π/3)*|cos(α+π/3)|
α∈(π/3,π/2),则 α+π/3∈(2π/3,7π/6)
cos(α+π/3)
再问： 呵呵，答的很漂亮，不过第一问的后面好像已经不需要同理了，因为a4=a2还需要条件a2∈（1/2，1） 我觉得其实只要证a3=a1,因为递推式的形式就像a(n+1)=f(an)， a3=a1,就必然有f(a3)=f(a1),也就是a4=a2……之后同理就行。 顺便说下对这道大题的印象好么，谢谢
再答： 第一问的严格证法应该用数学归纳法，这儿只是简单写下解题的思路。 一般有 an和 √(1-a²n) ，都可以考虑做三角变换，前面的系数不是特殊值也无所谓，是常数就可以。 第二问用的无穷递缩等比数列。 这题还不错，不做代换也可以解，不过比较麻烦。
a2=sinα*cos(π/3)+sin(π/3)*|cosα|
=sin(α+π/3)
a3=sin(α+π/3)*cos(π/3)+sin(π/3)*|cos(α+π/3)|
α∈(π/3,π/2),则 α+π/3∈(2π/3,7π/6)
cos(α+π/3)
再问： 呵呵，答的很漂亮，不过第一问的后面好像已经不需要同理了，因为a4=a2还需要条件a2∈（1/2，1） 我觉得其实只要证a3=a1,因为递推式的形式就像a(n+1)=f(an)， a3=a1,就必然有f(a3)=f(a1),也就是a4=a2……之后同理就行。 顺便说下对这道大题的印象好么，谢谢
再答： 第一问的严格证法应该用数学归纳法，这儿只是简单写下解题的思路。 一般有 an和 √(1-a²n) ，都可以考虑做三角变换，前面的系数不是特殊值也无所谓，是常数就可以。 第二问用的无穷递缩等比数列。 这题还不错，不做代换也可以解，不过比较麻烦。