证明:一条直角边和另一直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 16:06:44

证明:一条直角边和另一直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.
证两次
HL
SAS

已知：Rt三角形ABC的直角边BC上的中线为AE,直角边AC上的中线为BF；
Rt三角形A'B'C'直角边B'C'上的中线A'E',直角边A'C'上的中线为B'F'.满足AE=A'E',BF=B'F'
求证：Rt三角形ABC全等于Rt三角形A'B'C'
证明：设AC=a,BC=b,A'C'=a',B'C'=b'
由勾股定理,得：AE^2=CE^2+AC^2=(b/2)^2+a^2
BF^2=BC^2+CF^2=b^2+(a/2)^2
同理,A'E'^2=(b'/2)^2+a^2
B'F'^2=b'^2+(a'/2)^2
由AE=A'E'得AE^2=A'E'^2,同理,BF^2=B'F'^2
由此得方程组：
(b/2)^2+a^2=(b'/2)^2+a'^2...(1)
b^2+(a/2)^2=b'^2+(a'/2)^2...(2)
（1）-（2）,得：a^2-b^2+(b^2-a^2)/4=a'^2-b'^2+(b'^2-a'^2)/4
即a^2-b^2=a'^2-b'^2,
即a^2-a'^2=b^2-b'^2...(3)
由(1),得：(b^2-b'^2)/4=a'^2-a^2...(4)
将(3)代入(4),得：(a^2-a'^2)/4=a'^2-a^2,即5(a^2-a'^2)/4=0
所以a^2-a'^2=0,即a=a',代入(3)得:b=b'
综上,在Rt三角形ABC与Rt三角形A'B'C'中,AC=A'C',BC=B'C',角ACB=角A'C'B'=90度,所以Rt三角形ABC全等于Rt三角形A'B'C'
结论：一条直角边和另一直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.