作业帮怎样用微积分找出不规则图形的重心!最好有计算公式!
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 15:22:49
怎样用微积分找出不规则图形的重心!最好有计算公式!
不用物理知识,如：Y=-X^2与X包围所形成图形的重心!
不用物理知识,如：Y=-X^2与X包围所形成图形的重心!
重心坐标为(对应坐标与面积乘积的积分)与(面积积分)之商
即 x(G)=[∫x`dA]/[∫dA], y(G)=[∫y`dA]/[∫dA]
其中,x`,y`为相应面积微元的重心坐标
如下图,求y=-x^2与x=1所围成图形的重心
取x垂线方向的长方形面积微元,其重心为
x`=x, y`=y/2=-x^2/2, dA=ydx
代入重心公式,可得
x(G)=[∫x`dA]/[∫dA]
=[∫xydx]/[∫ydx]
=[∫x*(-x^2)dx]/[∫(-x^2)dx] 积分限为0≤x≤1
=[<0,1>(-x^4/4)]/[<0,1>(-x^3/3)]
=[-1/4]/[-1/3]
=3/4
y(G)=[∫y`dA]/[∫dA]
=[∫(y/2)*ydx]/[∫ydx]
=[∫(-x^2/2)*(-x^2)dx]/[∫(-x^2)dx] 积分限为0≤x≤1
=[<0,1>(x^5/10)]/[<0,1>(-x^3/3)]
=[1/10]/[-1/3]
=-3/10
∴所围区域重心为G=G(3/4,-3/10)
PS: 你也可以取y轴垂线方向的面积微元,以y为变量积分
计算方法类似,所得结果相同（微元如图下面一块,x2`,y2`）
即 x(G)=[∫x`dA]/[∫dA], y(G)=[∫y`dA]/[∫dA]
其中,x`,y`为相应面积微元的重心坐标
如下图,求y=-x^2与x=1所围成图形的重心
取x垂线方向的长方形面积微元,其重心为
x`=x, y`=y/2=-x^2/2, dA=ydx
代入重心公式,可得
x(G)=[∫x`dA]/[∫dA]
=[∫xydx]/[∫ydx]
=[∫x*(-x^2)dx]/[∫(-x^2)dx] 积分限为0≤x≤1
=[<0,1>(-x^4/4)]/[<0,1>(-x^3/3)]
=[-1/4]/[-1/3]
=3/4
y(G)=[∫y`dA]/[∫dA]
=[∫(y/2)*ydx]/[∫ydx]
=[∫(-x^2/2)*(-x^2)dx]/[∫(-x^2)dx] 积分限为0≤x≤1
=[<0,1>(x^5/10)]/[<0,1>(-x^3/3)]
=[1/10]/[-1/3]
=-3/10
∴所围区域重心为G=G(3/4,-3/10)
PS: 你也可以取y轴垂线方向的面积微元,以y为变量积分
计算方法类似,所得结果相同（微元如图下面一块,x2`,y2`）