作业帮三道高中不等式题帮下忙,谢谢啦!
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 10:32:48
三道高中不等式题
帮下忙,谢谢啦!
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39.分子1+cos2x+8sinx^2
=1+1-2sinx^2+8sinx^2
=2+6sinx^2
=2sinx^2+2cosx^2+6sinx^2
=8sinx^2+2cosx^2
分母sin2x
=2sinxcosx
所以原式=(8sinx^2+2cosx^2)/(2sinxcosx)
=4sinx/cosx+cosx/sinx
=4tanx+cotx
=(2√tanx-√cotx)^2+4(00)
当2√tanx=√cotx时,tanx=0.5,此时x∈(0度,90度)
即当tanx=0.5时原式有最大值4
2.x^2+y^2/2=1
2x^2+y^2=2
2x^2+(1+y^2)=3
因为x,y均为正实数,故可令x=a,√(1+y^2)=b(显然a>0,b>0)
那么题目变为2x^2+(1+y^2)=2a^2+b^2=3
求ab的最小值
2a^2+b^2=3
(√2a-b)^2-2√2ab=3
2√2ab=3-(√2a-b)^2
(√2a-b)^2≥0
3-(√2a-b)^2≤3
当且仅当√2a=b时,2√2ab取得最大值3,ab最大值为3√2/4
即当√2x=√(1+y^2)时,x√(1+y^2)有最大值3√2/4
3.已知两数的和,求积的最大值
已知两数的积,求和的最小值,这是同类型的问题
a+b=1
(a+1/2)+(b+1/2)=2,a≥0,b≥0
[√(a+1/2)-√(b+1/2)]^2+2√(a+1/2)√(b+1/2)=2
当且仅当√(a+1/2)=√(b+1/2)时,√(a+1/2)√(b+1/2)有最大值1
[√(a+1/2)+√(b+1/2)]^2=(a+1/2)+(b+1/2)+2√(a+1/2)√(b+1/2)
=2+2√(a+1/2)√(b+1/2)
a≥0,b≥0
所以√(a+1/2)√(b+1/2)≥1/2
当√(a+1/2)=√(b+1/2)时,√(a+1/2)√(b+1/2)有最大值1
所以1/2≤√(a+1/2)√(b+1/2)≤1
所以2≤[√(a+1/2)+√(b+1/2)]^2≤4
即√2≤√(a+1/2)+√(b+1/2)≤2
=1+1-2sinx^2+8sinx^2
=2+6sinx^2
=2sinx^2+2cosx^2+6sinx^2
=8sinx^2+2cosx^2
分母sin2x
=2sinxcosx
所以原式=(8sinx^2+2cosx^2)/(2sinxcosx)
=4sinx/cosx+cosx/sinx
=4tanx+cotx
=(2√tanx-√cotx)^2+4(00)
当2√tanx=√cotx时,tanx=0.5,此时x∈(0度,90度)
即当tanx=0.5时原式有最大值4
2.x^2+y^2/2=1
2x^2+y^2=2
2x^2+(1+y^2)=3
因为x,y均为正实数,故可令x=a,√(1+y^2)=b(显然a>0,b>0)
那么题目变为2x^2+(1+y^2)=2a^2+b^2=3
求ab的最小值
2a^2+b^2=3
(√2a-b)^2-2√2ab=3
2√2ab=3-(√2a-b)^2
(√2a-b)^2≥0
3-(√2a-b)^2≤3
当且仅当√2a=b时,2√2ab取得最大值3,ab最大值为3√2/4
即当√2x=√(1+y^2)时,x√(1+y^2)有最大值3√2/4
3.已知两数的和,求积的最大值
已知两数的积,求和的最小值,这是同类型的问题
a+b=1
(a+1/2)+(b+1/2)=2,a≥0,b≥0
[√(a+1/2)-√(b+1/2)]^2+2√(a+1/2)√(b+1/2)=2
当且仅当√(a+1/2)=√(b+1/2)时,√(a+1/2)√(b+1/2)有最大值1
[√(a+1/2)+√(b+1/2)]^2=(a+1/2)+(b+1/2)+2√(a+1/2)√(b+1/2)
=2+2√(a+1/2)√(b+1/2)
a≥0,b≥0
所以√(a+1/2)√(b+1/2)≥1/2
当√(a+1/2)=√(b+1/2)时,√(a+1/2)√(b+1/2)有最大值1
所以1/2≤√(a+1/2)√(b+1/2)≤1
所以2≤[√(a+1/2)+√(b+1/2)]^2≤4
即√2≤√(a+1/2)+√(b+1/2)≤2