作业帮【急】三个组合恒等式求证明
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 18:51:16
【急】三个组合恒等式求证明
C(r,r)+C(r,r+1)+C(r,r+2)+,+C(r,n)=C(r+1,n+1)
C(r,m)*C(0,n)+C(r-1.m)*C(1,n)+.+C(0.m)*C(r,n)=C(r,m+n)
[C(0,n)]^2+[C(1,n)]^2+.=C(n,2n)
C(r,r)+C(r,r+1)+C(r,r+2)+,+C(r,n)=C(r+1,n+1)
C(r,m)*C(0,n)+C(r-1.m)*C(1,n)+.+C(0.m)*C(r,n)=C(r,m+n)
[C(0,n)]^2+[C(1,n)]^2+.=C(n,2n)
是不是必须都用代数法一步一步证明出来?2和3都可用很简单的模型来说明...我先用模型和你说一下..要是不行的话..我再写证明过程吧.我先把1的证明照下来给你.. 再答： 
第二题∵(1+x)^m*(1+x)^n=(1+x)^(m+n)
∴展开式中x^r的系数，右边=C(m+n,r) 左边=C(m,r)*C(n,0)+C(m,r-1)*C(n,1)+…+C(m,0)*C(n,r)
得证
第三题：考察
（1+x)^(2n)的展开式
其中，x^n的系数为 C(2n,n)
（1+x)^(2n)=(1+x)^n（1+x)^n
要得到x^n，可以是前一个展开式中的0次和后一个展开式中的n次相乘
可以是前一个展开式中的1次和后一个展开式中的n-1次相乘
可以是前一个展开式中的2次和后一个展开式中的n-2次相乘
。。。。。
可以是前一个展开式中的n次和后一个展开式中的0次相乘
所以 x^n的系数为C(n,0)*C(n,n)+C(n,1)*C(n,n-1)+.......+C(n,n)*C(n,0)
=C(n,0)(平方)+C(n,1)(平方)+C(n,2)(平方)+......+C(n,n)(平方)所以 C(n,0)(平方)+C(n,1)(平方)+C(n,2)(平方)+......+C(n,n)(平方)=C(2n,n)
如果不明白就继续问我昂。。嘿嘿。。。
第二题∵(1+x)^m*(1+x)^n=(1+x)^(m+n)
∴展开式中x^r的系数，右边=C(m+n,r) 左边=C(m,r)*C(n,0)+C(m,r-1)*C(n,1)+…+C(m,0)*C(n,r)
得证
第三题：考察
（1+x)^(2n)的展开式
其中，x^n的系数为 C(2n,n)
（1+x)^(2n)=(1+x)^n（1+x)^n
要得到x^n，可以是前一个展开式中的0次和后一个展开式中的n次相乘
可以是前一个展开式中的1次和后一个展开式中的n-1次相乘
可以是前一个展开式中的2次和后一个展开式中的n-2次相乘
。。。。。
可以是前一个展开式中的n次和后一个展开式中的0次相乘
所以 x^n的系数为C(n,0)*C(n,n)+C(n,1)*C(n,n-1)+.......+C(n,n)*C(n,0)
=C(n,0)(平方)+C(n,1)(平方)+C(n,2)(平方)+......+C(n,n)(平方)所以 C(n,0)(平方)+C(n,1)(平方)+C(n,2)(平方)+......+C(n,n)(平方)=C(2n,n)
如果不明白就继续问我昂。。嘿嘿。。。