如图,平面直角坐标系中,直线BD分别交x轴,y轴于B,D两点,A,C是过D点的直线上两点,连接OA,OC,BD,∠CBO

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 17:46:55

如图,平面直角坐标系中,直线BD分别交x轴,y轴于B,D两点,A,C是过D点的直线上两点,连接OA,OC,BD,∠CBO=∠COB
如图,平面直角坐标系中,直线BD分别交x轴、y轴于B、D两点,A、C是过D点的直线上两点,连接OA、OC、BD,∠CBO=∠COB,且OD平分∠AOC．
（1）请判断AO与CB的位置关系,并予以证明；
（2）沿OA、AC、BC放置三面镜子,从O点发出的一条光线沿x轴负方向射出,经AC、CB、OA反射后,恰好由O点沿y轴负方向射出,若AC⊥BD,求∠ODB；
（3）在（2）的条件下,沿垂直于DB的方向放置一面镜子l,从射线OA上任意一点P放出的光线经B点反射,反射光线与射线OC交于Q点,OQ交BP于M点,给出两个结论：①∠OMB的度数不变；②∠OPB+∠OQB的度数不变．可以证明,其中有且只有一个是正确的,请你作出正确的判断并求值．

（1）平行．
证明：设∠AOD=∠COD=x,
∠BOC=∠OBC=y,
则∠BOD=x+y=90°,
故2x+2y=180°,
即∠AOB+∠OBC=180°,
得AO∥CB．
（2）如图所示,作垂线GE⊥CB、FO⊥AO．
∵AO∥CB,
∴FO⊥BC；
∴GE∥OF（垂直于同一条直线的两条直线平行）,
∴∠GEO=∠FOE；
∵GE、OF为法线,
∴∠DEG=∠GEO,∠EOF=∠BOF,
∴∠DEO=∠EOB,
∴DE∥OB
∴∠EDB=∠DBO,
∵BD为法线,
∴∠EDB=∠BDO,
∴∠BDO=∠DBO,
∴∠BDO=45°．
（3）选②,∠OPB+∠OQB=90°,
证明：设∠AOD=∠DOQ=x,
∠PBD=∠QBD=y,
在△PNO和△DNB中∠OPB+x=45°+y,
在△QHB和△DHO中∠OQB+y=45°+x,
两式相加得∠OPB+∠OQB=90°．