作业帮椭圆上的点到定点距离的最小值怎样求?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 23:55:41
椭圆上的点到定点距离的最小值怎样求?
比较简单的方法是利用导数法.不妨设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,则椭圆上一点(x,y)处的切线斜率为y'=-b^2x^2/(a^2y^2) （椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1两边对x求导变形得）,当切线与椭圆上点(x,y)与定点(x0,y0)所在的直线垂直时,距离最小.于是有
-b^2x^2/(a^2y^2)×(y-y0)/(x-x0)=-1得
b^2x^2y=a^2xy^2-a^2x0y^2+b^2y0x^2
两边平方,得
b^4x^4y^2=(a^2xy^2-a^2x0y^2+b^2y0x^2)^2
将y^2=b^2-b^2x^2/a^2代入上式,可化简得一个关于x的一元六次方程.如果题目设计合理,运气好的话就能降阶得到方程的解,可能有多个根,算出对应的y,但是最后要比较哪个距离小.
如果运气不好,可用matlab软件求解,得到若干个实数根,算出对应的y,最后也要比较哪个距离小.从理论上和技术上此方法是可行方法,必能得到结果.
参数法也很复杂,但却可能得不出结果.
再问： 我的意思是能否给一个形式简单，易于操作的方法或公式！谢谢啦！ 其实，您说的这个方法我也得到了，只是希望能更漂亮些！
再答： 那个一元六次方程展开后很复杂，如果没有具体数值代入的话没法分解
-b^2x^2/(a^2y^2)×(y-y0)/(x-x0)=-1得
b^2x^2y=a^2xy^2-a^2x0y^2+b^2y0x^2
两边平方,得
b^4x^4y^2=(a^2xy^2-a^2x0y^2+b^2y0x^2)^2
将y^2=b^2-b^2x^2/a^2代入上式,可化简得一个关于x的一元六次方程.如果题目设计合理,运气好的话就能降阶得到方程的解,可能有多个根,算出对应的y,但是最后要比较哪个距离小.
如果运气不好,可用matlab软件求解,得到若干个实数根,算出对应的y,最后也要比较哪个距离小.从理论上和技术上此方法是可行方法,必能得到结果.
参数法也很复杂,但却可能得不出结果.
再问： 我的意思是能否给一个形式简单，易于操作的方法或公式！谢谢啦！ 其实，您说的这个方法我也得到了，只是希望能更漂亮些！
再答： 那个一元六次方程展开后很复杂，如果没有具体数值代入的话没法分解
椭圆上的点到定点距离的最小值怎样求?
椭圆上的点和其外任意定点距离的最大最小值求法
已知椭圆C：x²÷3+y²=1（1）求椭圆C上的动点M到定点P（1,0）距离的最小值
.设椭圆 恒过定点 ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值
已知椭圆x^2+y^2=1上任意一点P及定点A(3,0),求点P到直线x-y-4=0的距离的最小值
求椭圆上一动点到椭圆内一定点和到一焦点的距离和的最大值和最小值
求椭圆x2/9 + y2/4 ＝1 上一点p与定点（1,0）之间距离的最小值.
椭圆C,求圆x^2+(y-2)^2=1/4上的点到椭圆C上的距离的最大值与最小值.
已知椭圆方程,如何求椭圆的一个焦点到椭圆上的点的距离?
求椭圆x^2/98+y^2/49=1,点P(0,5)到椭圆上任意点M的距离最小值
证明椭圆上所有的点到原点的距离最大值为a,最小值为b
为什么椭圆上的任意一个点到两个定点的距离和为一个定值