高中三角问题（关于正余弦定理解三角形）

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 02:18:42

高中三角问题（关于正余弦定理解三角形）
已知：在△ABC中,∠ABC=60°,AC=12,BC=k,若△ABC恰有一个,则k的取值范围?（这道题中“△ABC恰有一个”这句话怎么理解?）
0 < k < 12 或 k = 8倍根号3
请各位达人认真作答,不要着急,不分先后详细的解答过程对的就给谁,先出50分,答得好再加!说话算数!

先把图点开吧,对照着图比较好解释~
我觉得你的答案有一点点小问题, k=12 时也是满足条件的.
△ABC只有一个的意思是说,在要求的条件下,作出的三角形只可能有一个.
如图,A1C和A1B是垂直的,A1A2=A1B,A4B=A3B
先把 BC=k 定下来,则A点只能在直线A1B上,
准确的说,只能在直线上B以上的部分,否则,∠ABC就变成120°了.
当 A1C=12 时,因为不知道12与k的关系,可以有很多种情况：
（1）当 12=k*sin60°即 k=8倍根号3时
     这是C到直线A1B的最短距离,只能作出一条线,垂足即A1
     此时,△ABC是唯一的,满足条件
（2）当 k*sin60°<12<k 即 12<k<8倍根号3 时
     在A1B和A1A2上关于A1对称的地方,
     可以找到两个A点,使AC=12且∠ABC=60°
     此时,△ABC不是唯一的,不满足条件
（3）当 12=k 时
     A在A2或者B点,在B点出无法构成三角形
     所以能满足条件的A只能有一个位置,即A2
     此时,△ABC是唯一的,满足条件
（4）当 0<k<12 时
     使 AC=12 的位置可以是A4或A3
     但在A4处,∠ABC=120°,不满足条件,故A只能在A3处
     此时,△ABC是唯一的,满足条件
（5）当 k>8倍根号3 时
     C到直线的最短距离都大于12,不可能
     此时,△ABC不存在,不满足条件
综上所述,使 △ABC恰有一个的 k 应满足的条件是
          0<k<=12 或者 k=8倍根号3

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