球一道数学题已知:△ABC,作三条内角平分线AD,BE,CF,与三条边BC,AC,AB分别交与E,D,F,求证:S△DE
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 23:18:36
球一道数学题
已知:△ABC,作三条内角平分线AD,BE,CF,与三条边BC,AC,AB分别交与E,D,F,求证:S△DEF:S△ABC=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)
abc分别是BC,AC,AB
已知:△ABC,作三条内角平分线AD,BE,CF,与三条边BC,AC,AB分别交与E,D,F,求证:S△DEF:S△ABC=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)
abc分别是BC,AC,AB
同理:AF/BF=AC/BC=b/a,
由合分比定理:AF/(AF+BF)=b/(b+a),即AF/AB=b/(b+a),
于是BF/AB=a/(b+a),
(BF/AB=(AB-AF)/AB=1-AF/AB=1-b/(b+a)=a/(b+a))
同理BD/BC=c/(b+c),
记S0=S△ABC,
S△ABD/S△ABC=BD/BC=c/(b+c),
即 S△ABD/S△ABC=c/(b+c),…………③
S△BDF/S△ABD=BF/BA=a/(b+a),
即 S△BDF/S△ABD=a/(b+a),…………④
③、④两式相乘,S△BDF/S△ABC=ac/(b+c)(b+a),
S△BDF=S△ABC*ac/(b+c)(b+a),
即 S△BDF=S0*ac/(b+c)(b+a),
同理:
S△AEF=S0*bc/(a+c)(b+a),
S△CDE=S0*ab/(b+c)(c+a),
于是:
S△DEF=S△ABC-S△FBD-S△AEF-S△CDE
=S0*[1-ac/(b+c)(b+a)-bc/(a+c)(b+a)-ab/(b+c)(c+a)]
=S0*[(b+a)(b+c)(c+a)-ac(c+a)-bc(b+c)-ab(b+a)]/(b+a)(b+c)(c+a)
=S0*2abc/(b+a)(b+c)(c+a),
故
S△DEF/S△ABC=S△DEF/S0=2abc/(b+a)(b+c)(c+a).
这一证法思路很简单,但计算稍微多了一点.
由合分比定理:AF/(AF+BF)=b/(b+a),即AF/AB=b/(b+a),
于是BF/AB=a/(b+a),
(BF/AB=(AB-AF)/AB=1-AF/AB=1-b/(b+a)=a/(b+a))
同理BD/BC=c/(b+c),
记S0=S△ABC,
S△ABD/S△ABC=BD/BC=c/(b+c),
即 S△ABD/S△ABC=c/(b+c),…………③
S△BDF/S△ABD=BF/BA=a/(b+a),
即 S△BDF/S△ABD=a/(b+a),…………④
③、④两式相乘,S△BDF/S△ABC=ac/(b+c)(b+a),
S△BDF=S△ABC*ac/(b+c)(b+a),
即 S△BDF=S0*ac/(b+c)(b+a),
同理:
S△AEF=S0*bc/(a+c)(b+a),
S△CDE=S0*ab/(b+c)(c+a),
于是:
S△DEF=S△ABC-S△FBD-S△AEF-S△CDE
=S0*[1-ac/(b+c)(b+a)-bc/(a+c)(b+a)-ab/(b+c)(c+a)]
=S0*[(b+a)(b+c)(c+a)-ac(c+a)-bc(b+c)-ab(b+a)]/(b+a)(b+c)(c+a)
=S0*2abc/(b+a)(b+c)(c+a),
故
S△DEF/S△ABC=S△DEF/S0=2abc/(b+a)(b+c)(c+a).
这一证法思路很简单,但计算稍微多了一点.
球一道数学题已知:△ABC,作三条内角平分线AD,BE,CF,与三条边BC,AC,AB分别交与E,D,F,求证:S△DE
等腰三角形证明题 △ABC的内角平分线和外角平分线交与D,且ED‖BC,DE交AC于F,求证:EF=BE-CF
如图,已知△ABC的角平分线BD与∠ACB的外角平分线交于D点,DE∥BC交于E,交AC于F,求证:EF=BE-CF.
已知,△ABC中,角BAC的平分线AD与BC边上的中垂线GD交于D,DE⊥AB与E,DF⊥AC交AC的延长线于F,则BE
已知三角形ABC中,角BAC的平分线交BC于D BE⊥AD于E CF⊥AD于F 说明 AB×FD=AC×DE
已知:如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交与点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:BE=CF
如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线
如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线
在△ABC中,D是BC中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,BE=CF,求证AD是△ABC平分线.
已知Rt△ABC的内切圆圆O与斜边AB切于D,与两直角边分别切于E、S,DE与AC的延长线交于F,求证BD=CF
已知,在三角形ABC中,D、E、F分别在BC、AB、AC上BE=CF,三角形DEB与三角形DFC的面积相等,求证:AD平