作业帮复数 设a=(1+√3i)/2,b=(1-√3i)/2,当n∈N*时,计算a^n+b^n
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 06:07:06
复数 设a=(1+√3i)/2,b=(1-√3i)/2,当n∈N*时,计算a^n+b^n
这道题需要用到欧拉公式：e^ix=cosx+isinx,
a=cos60+i*sin60=e^i（π/3）,
b=cos60-i*sin60=e^i（-π/3）,
所以a^n=e^i（nπ/3）,
b^n=e^i（-nπ/3）,
a^n+b^n=e^i（nπ/3）+e^i（-nπ/3）=e^i（nπ/3）+1/[e^i（nπ/3）],
利用欧拉公式展开,
a^n+b^n=cosnπ/3+i*sinnπ/3+1/[cosnπ/3+i*sinnπ/3],
1/[cosnπ/3+i*sinnπ/3]=cosnπ/3-i*sinnπ/3,
所以结果等于2cosnπ/3.
再问： 高二还没学到欧拉公式 a+b=1,a²+b²=-1,a³+b³=-2,a^4+b^4=-1,,a^5+b^5=1,,a^6+b^6=2,,a^7+b^7=1,,a^8+b^8=-1,,a^9+b^9=-2,,a^10+b^10=-1......肯定有规律的,我不知道怎么归纳,例如:a^n+b^n=2(-1)^n(n=3k k∈N*)
再答： 提前了解一下肯定会有用的，况且高中复数的计算也就这么点了，，，
再问： 能不能象分段函数那样写:::a^n+b^n=(-1)^n+1(n=3k+1 k∈N) a^n+b^n=(-1)^n-1(n=3k+2 k∈N) a^n+b^n=2(-1)^n(n=3k+3 k∈N)
再答： ::: a^n+b^n=(-1)^n+1(n=3k+1 k∈N) a^n+b^n=(-1)^n-1(n=3k+2 k∈N) a^n+b^n=2(-1)^n(n=3k+3 k∈N) 这个不对的，它们的符号一直在变呢，，， 也就转化成三角函数才可以的啊，，， 不然复数i消不掉啊，，，（我是消不掉，）
再问： a²=(-1+√3i)/2,a³=-1,b²=(-1-√3i)/2,b³=-1 a+b=1, a²+b²=-1, a³+b³=-2, a^4+b^4=-1,, a^5+b^5=1, ,a^6+b^6=2,, a^7+b^7=1,, a^8+b^8=-1, ,a^9+b^9=-2,, a^n+b^n=(-1)^(n+1)(n=3k+1 k∈N)当k=0,1,2..时n=1,4,7... a^n+b^n=(-1)^(n-1)(n=3k+2 k∈N)当k=0,1,2..时n=2,5,8.. a^n+b^n=2(-1)^n(n=3k+3 k∈N)当k=0,1,2..时n=3,6,9..
再答： 嗯，这几个式子是对的，但是不好化啊，，，
a=cos60+i*sin60=e^i（π/3）,
b=cos60-i*sin60=e^i（-π/3）,
所以a^n=e^i（nπ/3）,
b^n=e^i（-nπ/3）,
a^n+b^n=e^i（nπ/3）+e^i（-nπ/3）=e^i（nπ/3）+1/[e^i（nπ/3）],
利用欧拉公式展开,
a^n+b^n=cosnπ/3+i*sinnπ/3+1/[cosnπ/3+i*sinnπ/3],
1/[cosnπ/3+i*sinnπ/3]=cosnπ/3-i*sinnπ/3,
所以结果等于2cosnπ/3.
再问： 高二还没学到欧拉公式 a+b=1,a²+b²=-1,a³+b³=-2,a^4+b^4=-1,,a^5+b^5=1,,a^6+b^6=2,,a^7+b^7=1,,a^8+b^8=-1,,a^9+b^9=-2,,a^10+b^10=-1......肯定有规律的,我不知道怎么归纳,例如:a^n+b^n=2(-1)^n(n=3k k∈N*)
再答： 提前了解一下肯定会有用的，况且高中复数的计算也就这么点了，，，
再问： 能不能象分段函数那样写:::a^n+b^n=(-1)^n+1(n=3k+1 k∈N) a^n+b^n=(-1)^n-1(n=3k+2 k∈N) a^n+b^n=2(-1)^n(n=3k+3 k∈N)
再答： ::: a^n+b^n=(-1)^n+1(n=3k+1 k∈N) a^n+b^n=(-1)^n-1(n=3k+2 k∈N) a^n+b^n=2(-1)^n(n=3k+3 k∈N) 这个不对的，它们的符号一直在变呢，，， 也就转化成三角函数才可以的啊，，， 不然复数i消不掉啊，，，（我是消不掉，）
再问： a²=(-1+√3i)/2,a³=-1,b²=(-1-√3i)/2,b³=-1 a+b=1, a²+b²=-1, a³+b³=-2, a^4+b^4=-1,, a^5+b^5=1, ,a^6+b^6=2,, a^7+b^7=1,, a^8+b^8=-1, ,a^9+b^9=-2,, a^n+b^n=(-1)^(n+1)(n=3k+1 k∈N)当k=0,1,2..时n=1,4,7... a^n+b^n=(-1)^(n-1)(n=3k+2 k∈N)当k=0,1,2..时n=2,5,8.. a^n+b^n=2(-1)^n(n=3k+3 k∈N)当k=0,1,2..时n=3,6,9..
再答： 嗯，这几个式子是对的，但是不好化啊，，，
复数 设a=(1+√3i)/2,b=(1-√3i)/2,当n∈N*时,计算a^n+b^n
设a=√n+1-√n,b=√n+2-√n+1,其中n为正自然数,则a,b的大小关系是
a(n+1)=2an-a(n-1) 3bn-b(n-1)=n
设bn=(n-1)/(an-2),(n大于等于2),an=n^a-n+2,且b(n+1)+b(n+2)+...b(2n+
已知Un=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+...+ab^(n-1)+b^n(n∈N*,a>0,b>0),
设全集U={x∈N/2≤x≤30},集合A={x/x=2n,n∈N+,且n≤15},B=｛x/x=3n+1,n∈N+,且
设a1=1,a n+1=a n + 1/2,则数列{a n}的前n项之和为 A.（n^2+3n）/2 B.(n^2+n)
已知1/n^2+3n=A/n+B/n+3,求ab?
（a-b）（a^(n-1)-b^(n-1)）=(a-b)^2(a^(n-2)+a^(n-3)b+……+ab^(n-3)+
a^n-b^n=(a-b)[(a^(n-1)+a^(n-2)*b+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)],n是整数
1.S=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+……+ab^(n-1)+b^n（n∈N*,ab≠0）
i^4n=1,i^(4n+1)=i,i^(4n+2)=-1,i^(4n+3)=-i,当n∈Z时,能成立吗,书上是n∈N