问几个线性代数的题目.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 06:36:14

问几个线性代数的题目.
1.非其次线性方程组2x1+x2-x3+x4=1,3x1-2x2+x3-3x4=4,x1+4x2-3x3+5x4=-2,
2.设二次型f（x1,x2,x3）=2x1平方+4x2平方+5x3平方-4x1x3，求正交变换将二次型化为标准型
3.求下列向量组的秩，并把非最大无关组的向量用最大无关组线性表示，a1转置=（1,2,1,3）a2转置=（4，-1，-5，-6）a3转置=（1，-3，-4，-7）
【题中x为艾克思，表述不清楚，请大家见谅】

1.
增广矩阵 =
2 1 -1 1 1
3 -2 1 -3 4
1 4 -3 5 -2
r2-r1-r3,r1-2r3
0 -7 5 -9 5
0 -7 5 -9 5
1 4 -3 5 -2
r2-r1,r1*(-1/7),r3-4r1
0 1 -5/7 9/7 -5/7
0 0 0 0 0
1 0 -1/7 -1/7 6/7
交换行
1 0 -1/7 -1/7 6/7
0 1 -5/7 9/7 -5/7
0 0 0 0 0
通解为:(6/7,-5/7,0,0)'+c1(1,5,7,0)'+c2(1,-9,0,7)
2.
二次型的矩阵 A=
2 0 -2
0 4 0
-2 0 5
|A-λE| =
2-λ 0 -2
0 4-λ 0
-2 0 5-λ
= (4-λ)*
2-λ -2
-2 5-λ
=(4-λ)[(2-λ)(5-λ)-4]
=(4-λ)(λ^2-7λ+6)
=(1-λ)(4-λ)(6-λ).
所以A的特征值为1,4,6.
(A-E)X=0 的基础解系为 a1=(2,0,1)^T.
(A-4E)X=0 的基础解系为 a2=(0,1,0)^T.
(A-6E)X=0 的基础解系为 a3=(1,0,-2)^T.
令P=(a1,a2,a3),则X=PY为正交变换,且
f = y1^2+4y2^2+6y3^2.
3.
(a1,a2,a3)=
1 4 1
2 -1 -3
1 -5 -4
3 -6 -7
r4-r2-r3,r2-r1-r3,r3-r1
1 4 1
0 0 0
0 -9 -5
0 0 0
r3*(-1/9),r1-4r3
1 0 -11/9
0 0 0
0 1 5/9
0 0 0
a1,a2 是一个极大线性无关组
a3 = -(11/9)a1 + (5/9)a2.
再问：最后一题用a1a2表示a3，是怎么解出来的
再答： (a1,a2,a3) 用初等行变换化为行最简形 1 0 -11/9 0 1 5/9 0 0 0 0 0 0 这里, 列之间的关系与 (a1,a2,a3) 的列之间的线性关系是一样的, 这是定理

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