作业帮证明：当x≠0时有不等式ex＞1+x．
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 04:19:58
证明：当x≠0时有不等式ex＞1+x．
【解法1】利用函数的单调性进行证明．
令f（x）=ex-（1+x），
则f′（x）=ex-1．
令f′（x）=0，求得x=0．
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，故f（x）在（-∞，0]上严格单调减少；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在[0，+∞）上严格单调增加；
从而，x≠0时，f（x）＞f（0）=0，
即：x≠0时ex＞1+x．
【解法2】利用泰勒公式进行证明．
对于任意x≠0，利用泰勒公式可得，
ex =1+x+ξ2，其中ξ在0到x之间，
从而，ex ＞1+x．
令f（x）=ex-（1+x），
则f′（x）=ex-1．
令f′（x）=0，求得x=0．
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，故f（x）在（-∞，0]上严格单调减少；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在[0，+∞）上严格单调增加；
从而，x≠0时，f（x）＞f（0）=0，
即：x≠0时ex＞1+x．
【解法2】利用泰勒公式进行证明．
对于任意x≠0，利用泰勒公式可得，
ex =1+x+ξ2，其中ξ在0到x之间，
从而，ex ＞1+x．