在面积为2的三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,点P在直线EF上,则向量PC*PB+BC2的最小值是.
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 14:24:29
在面积为2的三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,点P在直线EF上,则向量PC*PB+BC2的最小值是.
∵E、F是AB、AC的中点,∴EF到BC的距离=点A到BC的距离/2,
∴△ABC的面积=2△PBC的面积,而△ABC的面积=2,∴△PBC的面积=1,
又△PBC的面积=(1/2)PB×PCsin∠BPC,∴PB×PC=2/sin∠BPC.
由向量夹角公式,有:cos∠BPC=向量CP·向量BP/(|向量CP||向量BP|),
∴向量CP·向量BP=PB×PCcos∠BPC=2cos∠BPC/sin∠BPC.
由余弦定理,有:BC^2=BP^2+CP^2-2BP×CPcos∠BPC.
显然,BP、CP都是正数,∴BP^2+CP^2≧2BP×CP,∴BC^2≧2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC.
∴向量CP·向量BP+BC^2
≧2cos∠BPC/sin∠BPC+2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC
=2cos∠BPC/sin∠BPC+4/sin∠BPC-4cos∠BPC/sin∠BPC
=(4-2cos∠BPC)/sin∠BPC.
令∠BPC=2x,则:
向量CP·向量BP+BC^2
≧[4(cosx)^2+4(sinx)^2-2(cosx)^2+2(sinx)^2]/(2sinxcosx)
=[(cosx)^2+3(sinx)^2]/(sinxcosx)
=cosx/sinx+3sinx/cosx.
在△PBC中,显然有:0°<∠BPC<180°,∴0°<2x<180°,∴0°<x<90°,
∴cosx、sinx都是正数,∴cosx/sinx+3sinx/cosx≧2√3,∴向量CP·向量BP+BC^2≧2√3.
∴向量CP·向量BP+BC^2的最小值为2√3.
∴△ABC的面积=2△PBC的面积,而△ABC的面积=2,∴△PBC的面积=1,
又△PBC的面积=(1/2)PB×PCsin∠BPC,∴PB×PC=2/sin∠BPC.
由向量夹角公式,有:cos∠BPC=向量CP·向量BP/(|向量CP||向量BP|),
∴向量CP·向量BP=PB×PCcos∠BPC=2cos∠BPC/sin∠BPC.
由余弦定理,有:BC^2=BP^2+CP^2-2BP×CPcos∠BPC.
显然,BP、CP都是正数,∴BP^2+CP^2≧2BP×CP,∴BC^2≧2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC.
∴向量CP·向量BP+BC^2
≧2cos∠BPC/sin∠BPC+2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC
=2cos∠BPC/sin∠BPC+4/sin∠BPC-4cos∠BPC/sin∠BPC
=(4-2cos∠BPC)/sin∠BPC.
令∠BPC=2x,则:
向量CP·向量BP+BC^2
≧[4(cosx)^2+4(sinx)^2-2(cosx)^2+2(sinx)^2]/(2sinxcosx)
=[(cosx)^2+3(sinx)^2]/(sinxcosx)
=cosx/sinx+3sinx/cosx.
在△PBC中,显然有:0°<∠BPC<180°,∴0°<2x<180°,∴0°<x<90°,
∴cosx、sinx都是正数,∴cosx/sinx+3sinx/cosx≧2√3,∴向量CP·向量BP+BC^2≧2√3.
∴向量CP·向量BP+BC^2的最小值为2√3.
在面积为2的三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,点P在直线EF上,则向量PC*PB+BC2的最小值是.
在面积为2的三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,点P在直线EF上,则向量PC*PB+BC2的最小值是
是一条填空题,但是希望大侠们也能给个过程:1.在面积为2的三角形ABC中,E、F点分别是AB、AC的中点,点P在直线EF
在三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,用向量AB,向量AC表示向量EF
在三棱锥P-ABC中,PA垂直平面ABC,AB垂直AC,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点,连接DE,DF,EF,
已知,如图,P是三角形ABC内一点,点D,E,F,G分别是PB,PC,AC,AB上的中点,求证四边形DEFG是平行四边形
已知,如图,P是三角形ABC内一点,点D,E,F,G分别是PB,PC,AC,AB上的中点,求证四边形DEFG是矩形
如图,在△ABC中,P是高AD上一点,E,F,G,H分别是AB,PB,PC,AC的中点,连结EF,FG,GH,HE,求证
在△ABC中,E,F分别为AB、AC中点,P为EF上任意一点,实数x,y满足向量PA+x向量PB+y向量PC=0,.设△
如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,PB=PC,E、F分别是PC和AB上的点且PE:EC=AF:FB=3:2.
在三棱锥P-ABC中,AB=AC,PB=PC,E,F分别是PC,AB上的点,且PE:EC=AF:FB=3:2
在RT三角形ABC中,AC=2,BC=2,已知点P是△ABC内一点,则向量PC·(向量PA+向量PB)的最小值是?