已知在四棱锥P–ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=√3,AB=1,AD=2,∠BAD=12

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 00:37:37

已知在四棱锥P–ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=√3,AB=1,AD=2,∠BAD=120°,E,F,G,H分别是BC,PB,PC,AD的中点.(Ⅰ)PH//平面GED； (Ⅱ)过点F做平面α,当平面α与平面EDG所成90°角时,设PA与平面α交于点Q,求PQ的长.

⑴证明：连接HC,交ED于点N,连接GN,
∵DHEC是平行四边形,∴N是线段HC的中点,又G是PC的中点,
∴GN∥PH,(三角形中位线定理)
又∵GN⊂平面GED,PH⊄平面GED,
∴PH∥平面GED．---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
⑵连接AE,∵∠BAD=120°,∴△ABE是等边三角形,
设BE的中点为M,以AM、AD、AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz．
则B(√3/2,−1/2,0),C(√3/2,3/2,0),D(0,2,0),P(0,0,√3),则E(√3/2,1/2,0),F(√3/4,−1/4,√3/2）,G(√3/4,3/4,√3/2)．设Q(0,0,t),向量ED=(−√3/2,3/2,0),向量DG=(√3/4,−5/4,√3/2)．【以下省略"向量"二字】设n1=(x1,y1,z1)是平面GED的一个法向量,则n1•ED=−√3/2•x1+3/2•y1=0 n1•DG=√3/4•x1−5/4•y1+√3/2•z1=0 令y1=1,得n1=(√3,1,√3/3)．设n2=(x2,y2,z2)是平面α的一个法向量,则n2•ED=−√3/2•x2+3/2•y2＝0 n2•QF=√3/4•x2−1/4•y2+(√3/2−t)•z2=0
令y2=1,得
n2=(√3,1,1/(2t-√3)),
当平面GED⊥平面α时,n1•n2=3+1+√3/3•1/(2t−√3)=0,得t=11√3/24,则PQ的长为√3−11√3/24=13√3/24．故答案为：13√3/24.【本题综合考查了线面平行于垂直、面面平行与垂直、建立空间直角坐标系得出二面角的法向量、平行四边形的性质、三角形的中位线定理等基础知识与基本技能,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力．】
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已知在四棱锥P–ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=√3,AB=1,AD=2,∠BAD=12 已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=根号3,AB=1．AD=2．∠BAD=1 已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA垂直于平面ABCD,PA=√3,AB=1,AD=2,∠BAD= 已知在四棱锥p-abcd中,底面abcd是平行四边形,pa⊥平面abcd,pa=√3,ab=1 四棱锥P-ABCD中底面ABCD是平行四边形PA⊥平面ABCD.PA=根号3AB=1AD=2∠BAD=120°E,G,H 已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为平行四边形,其中PA垂直平面ABCD,AB=√2,AP=... 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=AB=AD=1,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,求四棱锥的表面积如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F是PD的中点,E是如图,在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2, 在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,PA=根号2, 如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,若PA=AD=AB,求PC与平面ABCD 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥平面ABCD,AB=根号3