若对一切正整数ax^2+bx+c都是完全平方数,证明：a,b,c都是整数且c为完全平方数.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 18:33:06

如果对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整数的平方）,
证明：（1）2a,2b,c都是整数；
（2）a,b,c都是整数,并且c是平方数；
（3）反过来,如（2）成立,是否对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数?考点：完全平方数．专题：代数综合题．分析：（1）分别令x=0,x=1,x=-1然后代入二次三项式,可得出2a,2b,c都是整数．
（2）分别令令x=2,x=-2,代入二次三项式,然后利用奇偶性可分别得出结论．
（3）令x=1,a=1,b=1,c=1代入即可作出判断．证明：（1）∵对一切x的整数值,x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数,
∴令x=0,a•02+b•0+c=c,
c是整数且是平方数,
令x=1,-1时a•12+b•1+c,a•（-1）2+b•（-1）+c是平方数,
∴可设a•12+b•1+c=m12①a•（-1）2+b•（-1）+c=n12
②c=k12（m1n1k1均为整数）,
①-②得：2b=m12-n12,
∴2b为整数（整数相减为依然为整数）,
由①得：2a=2m12-2b-2c,
∴2a为整数,
∴2a,2b,c都是整数；
（2）（1）中已证c是整数且是平方数,
令x=2,-2时,可设a•22+b•2+c=m22③a•（-2）2+b•（-2）+c=n22④c=k12（m2n2k1均为整数）,
③-④得：4b=m22-n22=（m2+n2）（m2-n2）=2（2b）,
∵2b为整数,
∴2（2b）为偶数,则m22-n22为偶数,
∴（m2+n2）,（m2-n2）同奇同偶,
则可设（m2+n2）=2m,（m2-n2）=2n（m,n均为整数）,
∴4b=2m•2n=4mn,
∴b=mn,
∴b为整数；
（3）令x=1,a=1,b=1,c=1,则ax2+bx+c=3,而3不是平方数．

若对一切正整数ax^2+bx+c都是完全平方数,证明：a,b,c都是整数且c为完全平方数. 已知x的二次三项式ax^2+bx+c对于x的所有整数值,都表示平方数（整数的平方）.证明：a、b都是整数三个不同的正整数a,b,c,使a+b+c=133,且任意两个数的和都是完全平方数.则a,b,c是? 已知b,c为正整数,a为质数,且a²+b²=c²证明2c-1为完全平方数,b+c=a 已知a、b、c均为整数,且a、b、c均互质,满足ab+bc=ac,证明:a-b是完全平方数. a.b.c为正整数,a的平方+b的平方=c的平方,a为质数. 证明：2(a+2b-c+2)是完全平方数为什么方程ax^2+bx+c=0两根是正整数时,根的判别式是一个完全平方数? a,b是整数,若对所有正整数n,(2^n)a+b为完全平方数,证明:a=0 已知方程ax（2的平方）加bx加c等于0,且a,b,c都是奇数,求证：方程没有整数跟.（要计算过程）已知a，b，c，d都是整数，求证：（a2+b2）（c2+d2）是两个完全平方数的和．已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a+b+1）是完全平方数． a,b两个数互质且a*b是一个完全平方数如何证明a和b都是完全平方数?