若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/30 15:31:15

若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：f（x）为减函数；
（3）当f(4)＝

（1）设x＞0，则-x＜0，在原式中令b=0得f（a）=f（a）•f（0），故f（0）=1，
再令a=x，b=-x，则f（0）=f（x）•f（-x），所以f（x）=
1
f(−x)，因为-x＜0，所以f（-x）＞1，
所以0＜f（x）＜1，综上f（x）＞0
（2）任取两个实数x₁和x₂，且x₁＜x₂，则x₂=x₁+m，且m＞0，所以0＜f（m）＜1
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁+m）-f（x₁）=f（x₁）•f（m）-f（x₁）=f（x₁）（f（m）-1）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），所以f（x）为减函数
（3）由f(4)＝
1
16得f（2）=
1
4，f(x−3)•f(5−x2)≤
1
4，即f（x-3+5-x²）≤f（2）
由（2）可知x-3+5-x²≥2，即x-x²≥0，所以x∈[0，1]．