关于连续函数已知f(x)在R上连续,且f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立.求证存在常数a,使得f(

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 05:09:37

关于连续函数
已知f(x)在R上连续,且f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立.求证存在常数a,使得f(x)=ax.
实在没思路.书后提示a=f(1),先证x是整数的情况,再证x是有理数的情况,最后证x是无理数的情况.

∵f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立；分三种情况：
1.x是整数:
有f(0)=f(0)＋f(0)；∴f(0)=0=a*0
f(1)=f(1)+f(0)=f(1)；∴f(n)=f(n-1)+f(1)=.=n*f(1)
取a=f(1),所以f(n)=a*n
2.x是有理数时:
∵x=p／q(p,q为整数) ∴f(p)=f((p／q)*q)=f((p／q)+(p／q)+.+(p／q))=f(x)*q
∴f(x)=f(p)/q=p/q*f(1)=xf(1)
3.x为无理数时：
x为一个序列的极限记为：{Xn}.而{Xn}中每一项都是一个有理数,即：
f(Xn)=Xn*f(1),由极限定理有：f(x)=xf(1)
学了很久了,证明无理数的时候可能有些问题.

关于连续函数已知f(x)在R上连续,且f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立.求证存在常数a,使得f( 已知f(x)定义在R上函数,若f(x)-f(y)=f(x-y)对于任意x,y属于R都成立,且当x>0,f(x) 若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x 若对于定义在R上的连续函数f(x),存在常数a(a∈R),使得f(x+a)+af(x)=0对任意的实数函数奇偶性已知定义在R上的函数f(x)对于任意x,y属于R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0 已知f(x)是定义在R上的函数,对于任意的x,y属于R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不 f(x)在R上衡大于0,且对于任意x,y属于R,f(xy)=f(x)^y,且f(1/3)>1. 已知f(x)是定义在R上的函数,对于任意x,y属于R都有f(x+y)+(x-y)=2f(x)f(y),且f(o)不等于0 已知函数y=f(x),x属于R,对于任意的xy属于R,f(x+y)=f(x)+f(y),（1）求证f(0)=0,且f（x 已知函数f(x)是定义在R+上的函数,对于任意x,y属于R+,都有f(x)+f(y)=f(x*y),且当仅且x>1时,f 已知函数满足对任意xy属于R都有f(x+y)=f(x)*f(y)-f(x)-f(y)+2成立,且x2,证明x 已知函数f(x)(x属于R,且x大于0),对于定义域内任意x.y,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),