高数曲线问题求通过点(1,2)的曲线方程,使曲线上任意一点的切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值你的答案很明显是错的啊

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 01:45:23

高数曲线问题
求通过点(1,2)的曲线方程,使曲线上任意一点的切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值
你的答案很明显是错的啊～

如果要高中的做法,这个“任意一点的切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值 ”显然是曲率为1的双曲线（也就是直线）.焦点为原点,准线为y轴.还要过点(1,2).
所以x^2+3 x-y^2=0
如果要用高数的方法求解,稍微麻烦了一些.
假设曲线方程为y=f(x)
曲线通过点(1,2),所以f(1)=2
曲线上任意一点(x0,f(x0))的切线方程为(注,这里x0里面0是下标):
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
化简为
y=f'(x0)x+f(x0)-f'(x0) x0
如果设切线斜率f'(x0)=tan A (A是直线和x轴的夹角)
切线与原点的距离为
|f(x0)-f'(x0) x0| |cos A|=|f(x0)-f'(x0) x0| /根号下(1+f'(x0)^2)
因为切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值,所以有方程
|f(x0)-f'(x0) x0| /根号下(1+f'(x0)^2)=|x0|
两边平方
[f(x0)-f'(x0) x0]^2=x0^2 (1+f'(x0)^2)
所以
2 x0 f(x0) f'(x0)=f^2(x0)+x0^2
定义g(x)=[f(x)]^2,同时省略下表0,得到
x g'(x)=g(x)+x^2
定义x=e^t,得到
g'(t)=g(t)+e^(2t)
所以,
g(t)=C e^t + e^(2t),C是任意常数.
所以
y=f(x)=+/-根号下（C x + x^2）
因为f(1)=2,所以得到 C=3
y=f(x)=+/-根号下（ x^2+3x）
两边平方得到
x^2+3 x-y^2=0

高数曲线问题求通过点(1,2)的曲线方程,使曲线上任意一点的切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值你的答案很明显是错的啊求通过点（1,2）的曲线方程,使曲线上任意点处切线与原点的距离等于该点横坐标的绝对值高数设曲线过点(-1,2),并且曲线上任意一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程. 设曲线经过点(1,2),且曲线上任意一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线的方程? 设过曲线上任意一点的切线的斜率,都等于该点与坐标原点所连直线斜率的3倍,求此曲线方程. 一曲线通过点(1,-1),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方的倒数,求该曲线的方程设曲线经过点（e^2,1）,且曲线上任意一点（x,y）处的切线斜率等于该点横坐标的倒数,求此曲线的方程. 一曲线通过点(e^2,3,且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程设曲线上任意一点p处的切线的斜率等于点p的横坐标与纵坐标之和,且曲线过点（1,2）,求次曲线的方程设一曲线过原点,切任意点的切线率为该坐标点横坐标的3倍与纵坐标的差,求该曲线的方程一曲线过点（0,1）,并且曲线上任意一点（x,y）处的切线斜率等于该点横坐标的平方,求该曲线的方程? 求曲线方程一曲线通过点(1,1).且该曲线上任一点M(x,y)处的切线垂直于此点与原点的连线曲线方,求这曲线的方程请大家