傅里叶变换的性质及常用函数

傅里叶变换的性质及常用函数

基本性质
　　线性性质线性linear,指量与量之间按比例、成直线的关系,在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系,一阶导数不为常数.如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍?很容易想到的是两倍,可实际是 6－10倍!这就是非线性.激光也是非线性的!天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡,会突陷混沌；地磁场在400万年间,方向突变16次,也是由于混沌.甚至人类自己,原来都是非线性的：与传统的想法相反,健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的,而是混沌的,混沌正是生命力的表现,混沌系统对外界的刺激反应,比非混沌系统快.　两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和.数学描述是：若函数f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅里叶变换\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在,α 和 β 为任意常系数,则\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里叶变换算符\mathcal可经归一化成为么正算符；
频移性质
　　若函数f \left( x\right )存在傅里叶变换,则对任意实数 ω0,函数f(x) e^{i \omega_ x}也存在傅里叶变换,且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) .式中花体\mathcal是傅里叶变换的作用算子,平体F表示变换的结果（复函数）,e 为自然对数的底,i 为虚数单位\sqrt；
微分关系
　　若函数f \left( x\right )当|x|\rightarrow\infty时的极限为0,而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在,则有\mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ,即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 − iω .更一般地,若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0,且\mathcal[f^{(k)}(x)]存在,则\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ,即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( − iω)k.
卷积特性
　　若函数f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上绝对可积,则卷积函数f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里叶变换存在,且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] .卷积性质的逆形式为\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ,即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积,同时还有两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积.
Parseval定理
　　若函数f \left( x\right )可积且平方可积,则\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^d\omega .其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换.