作业帮概率与数理统计问题.急
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/30 14:10:32
概率与数理统计问题.急
设x1,x2,x3,.,x9 是来自正态总体X 的简单随机样本, Y1 = 1/6(x1+.+x6),
Y2=1/3(x7+x8+x9), S^2=1/2Σ(xi-Y2)^2(i=7,8,9), Z=√2 (Y1-Y2)/S
证明统计量Z 服从自由度为2 的t 分布.
题目中的讲解是由于Y1和Y2独立,Y1和S^2独立,Y2和S^2独立且Y1,Y2,S^2相互独立,可知Y1-Y2与S^2也独立
本人的疑问是为什么Y1,Y2,S^2相互独立,两两独立不一定相互独立呀!
设x1,x2,x3,.,x9 是来自正态总体X 的简单随机样本, Y1 = 1/6(x1+.+x6),
Y2=1/3(x7+x8+x9), S^2=1/2Σ(xi-Y2)^2(i=7,8,9), Z=√2 (Y1-Y2)/S
证明统计量Z 服从自由度为2 的t 分布.
题目中的讲解是由于Y1和Y2独立,Y1和S^2独立,Y2和S^2独立且Y1,Y2,S^2相互独立,可知Y1-Y2与S^2也独立
本人的疑问是为什么Y1,Y2,S^2相互独立,两两独立不一定相互独立呀!
不用Y1,Y2,S^2相互独立
直接由Y1和Y2独立,Y1和S^2独立就可以推出Y1-Y2与S^2也独立
这样下去就能证得结论
再问： 由Y1和Y2独立，Y1和S^2独立就可以推出Y1-Y2与S^2也独立 根据什么定理推的？
再答： 不好意思，之前表述错了 题目的讲解并没有说从它们三者两两之间相互独立而推出了它们三者相互独立 首先有Y1和Y2独立，Y1和S^2独立，Y2和S^2独立也即它们三者两两之间相互独立，这点比较好理解 然后，在这道题中，还有Y1，Y2，S^2相互独立，这个不是一下能看出来。首先我们看Y2，S^2是相互独立的，构造它们的联合分布(Y2，S^2)，也即将它们看成一个整体随机向量。由于此联合分布只关变量X7、X8、X9，而Y1只关系到变量X1~X6，因此Y1与(Y2，S^2)这个随机向量相互独立，这就推出了Y1，Y2，S^2相互独立了 公式推导P(y1,y2,s2)=P(y1)*P(y2,s2) [由y1与(y2,s2)独立] =P(y1) P(y2)P(s2), 由独立性的定义式知道Y1，Y2，S^2相互独立 再来，由Y1和Y2独立，Y1和S^2独立，Y2和S^2独立以及Y1，Y2，S^2相互独立可以推出Y1-Y2与S2相互独立。
再问： 我看这道题你只用了Y2和S^2独立，就推出了Y1，Y2，S^2相互独立，从而Y1-Y2与S^2也独立 。也就是说这两个条件“由于Y1和Y2独立，Y1和S^2独立”没甚么用，是不？
再答： 不是的，单凭Y1，Y2，S^2相互独立也推不出Y1-Y2与S^2也独立 还需要Y1和Y2独立，Y1和S^2独立，Y2和S^2独立才能推出。 至于这个证明过程，我只记得一个不是初等的证法，需要用到一个大的正交矩阵的仿射变换，类似于利用多元正态分布的密度函数证明Y2与S2相互独立的过程，那个正交变换的矩阵和过程我也不是很记得了。
再问： 请看这个，从这个Y1，Y2，S^2相互独立，从而Y1-Y2与S^2也独立 ，来源李永乐的书
再答： 原来如此，那就是你所说的了。
直接由Y1和Y2独立,Y1和S^2独立就可以推出Y1-Y2与S^2也独立
这样下去就能证得结论
再问： 由Y1和Y2独立，Y1和S^2独立就可以推出Y1-Y2与S^2也独立 根据什么定理推的？
再答： 不好意思，之前表述错了 题目的讲解并没有说从它们三者两两之间相互独立而推出了它们三者相互独立 首先有Y1和Y2独立，Y1和S^2独立，Y2和S^2独立也即它们三者两两之间相互独立，这点比较好理解 然后，在这道题中，还有Y1，Y2，S^2相互独立，这个不是一下能看出来。首先我们看Y2，S^2是相互独立的，构造它们的联合分布(Y2，S^2)，也即将它们看成一个整体随机向量。由于此联合分布只关变量X7、X8、X9，而Y1只关系到变量X1~X6，因此Y1与(Y2，S^2)这个随机向量相互独立，这就推出了Y1，Y2，S^2相互独立了 公式推导P(y1,y2,s2)=P(y1)*P(y2,s2) [由y1与(y2,s2)独立] =P(y1) P(y2)P(s2), 由独立性的定义式知道Y1，Y2，S^2相互独立 再来，由Y1和Y2独立，Y1和S^2独立，Y2和S^2独立以及Y1，Y2，S^2相互独立可以推出Y1-Y2与S2相互独立。
再问： 我看这道题你只用了Y2和S^2独立，就推出了Y1，Y2，S^2相互独立，从而Y1-Y2与S^2也独立 。也就是说这两个条件“由于Y1和Y2独立，Y1和S^2独立”没甚么用，是不？
再答： 不是的，单凭Y1，Y2，S^2相互独立也推不出Y1-Y2与S^2也独立 还需要Y1和Y2独立，Y1和S^2独立，Y2和S^2独立才能推出。 至于这个证明过程，我只记得一个不是初等的证法，需要用到一个大的正交矩阵的仿射变换，类似于利用多元正态分布的密度函数证明Y2与S2相互独立的过程，那个正交变换的矩阵和过程我也不是很记得了。
再问： 请看这个，从这个Y1，Y2，S^2相互独立，从而Y1-Y2与S^2也独立 ，来源李永乐的书
再答： 原来如此，那就是你所说的了。