作业帮已知前n项和公式求通项公式 我用导数证明出来了求解答
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 14:56:19
已知前n项和公式求通项公式 我用导数证明出来了求解答
Sn=a*n^3+b*n^2+c*n+d
Sn-1=a*(n-1)^3+b*(n-1)^2+c*(n-1)+d
通项公式An=Sn-Sn-1= (a*n^3+b*n^2+c*n+d)-( a*(n-1)^3+b*(n-1)^2+c*(n-1)+d)
=3a*n^2-3a*n+2b*n+a-b+c
以上是正常的方法 下面我用导数证明
Sn’=3a*n^2+2b*n+c
Sn’’=6a*n+2b
Sn’’’=6a
通项公式An= Sn’ *1+ Sn’’*(-1/2)+ Sn’’’*(1/6)= 3a*n^2-3a*n+2b*n+a-b+c
我总结如下已知任意高阶次的前n项和公式求第n项通项公式：
1.先将前n项和公式 做一阶导数 二阶导数 ...一直导到只剩常数项
2.偶数阶导数（2 4 6...）乘（-1）也就是变号
3.第几阶导数就除以 该数的!（2阶就除以1*2 3阶就除以1*2*3）
4.然后将上述已处理完的的式子相加就得到了通项公式
当然该通项公式的n的取值范围是大于等于2
除了说不连续以外 我还想知道我这么算是对了还是错了 对了是为什么错了 又错在哪了
Sn=a*n^3+b*n^2+c*n+d
Sn-1=a*(n-1)^3+b*(n-1)^2+c*(n-1)+d
通项公式An=Sn-Sn-1= (a*n^3+b*n^2+c*n+d)-( a*(n-1)^3+b*(n-1)^2+c*(n-1)+d)
=3a*n^2-3a*n+2b*n+a-b+c
以上是正常的方法 下面我用导数证明
Sn’=3a*n^2+2b*n+c
Sn’’=6a*n+2b
Sn’’’=6a
通项公式An= Sn’ *1+ Sn’’*(-1/2)+ Sn’’’*(1/6)= 3a*n^2-3a*n+2b*n+a-b+c
我总结如下已知任意高阶次的前n项和公式求第n项通项公式：
1.先将前n项和公式 做一阶导数 二阶导数 ...一直导到只剩常数项
2.偶数阶导数（2 4 6...）乘（-1）也就是变号
3.第几阶导数就除以 该数的!（2阶就除以1*2 3阶就除以1*2*3）
4.然后将上述已处理完的的式子相加就得到了通项公式
当然该通项公式的n的取值范围是大于等于2
除了说不连续以外 我还想知道我这么算是对了还是错了 对了是为什么错了 又错在哪了
结论是对的,但过程是有问题的
Sn是一个数列,如果看成函数的话,定义域是离散的点,不能直接求导
设S(x)是在[1,+无穷）上任意阶可导的函数
根据泰勒公式S(x)在x=n处展开
S(n-1)=S(n) + S'(n)(-1)/1!+ S''(n)(-1)^2/2!+ S'''(n)(-1)^3/3!+ ...
如果S(x)是多项式函数的话,S(n-1)会在有限项内收敛到0,否则就要取无穷多项
再问： 高中生一个 尽管高数略懂 学得还是不好 求更详细点的解答
再答： 假设S(n+x)可以写成x的多项式函数，即 S(n+x)=a0+a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3 +... 将x=0代入得 a0=S(n) 两边对x求导 S'(n+x)=a1+2a2 * x + 3 a3 * x^2 + 4a4 * x^3... 将x=0代入上式 S'(n)=a1,即 a1=S'(n) 继续对x求导 S''(n+x)=2a2 + 3*2 * a3 * x + 4*3*a4 * x^2+... x=0代入得 S''(0)=2a2,即 a2=S‘’(0)/2 继续上述过程可得a3=S'''(0)/3!,... 得到a0,a1,...以后，再将x=-1代入 S(n+x)=a0+a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3 +... 即可得到你的结论
再问： 我大致理解了你的意思了 最后两个问题 结论既然是对的是不就可以用了有没有什么限制条件 还有就像Sn=2^n 是不就不能这么解了 就像你说的要取无穷多项
再答： 条件是这个级数S(n) + S'(n)(-1)/1! + S''(n)(-1)^2/2! + S'''(n)(-1)^3/3! + ... 要收敛到S(n-1),对于一般函数比如幂函数、指数、对数、正余弦（要任意阶可导）都是成立的 虽然是正确的，但一般不要用于高考之类的，能用正常的方法就正常一点吧。。 Sn=2^n这类也是可以这么解的，但是涉及到无穷级数的问题，可能超出你的知识范围，而且也不如正常法简单
再问： 多谢 看来我功力还是不够 求推荐两本书 我本身也是学物理竞赛的 对高数上的东西实在是看着很费劲
再答： 高数还是要结合应用或者习题理解吧，看看高数或者数学分析的教材就行了（我用的是高等教育出版社的），对你来说应该不会太难。祝你学习进步
Sn是一个数列,如果看成函数的话,定义域是离散的点,不能直接求导
设S(x)是在[1,+无穷）上任意阶可导的函数
根据泰勒公式S(x)在x=n处展开
S(n-1)=S(n) + S'(n)(-1)/1!+ S''(n)(-1)^2/2!+ S'''(n)(-1)^3/3!+ ...
如果S(x)是多项式函数的话,S(n-1)会在有限项内收敛到0,否则就要取无穷多项
再问： 高中生一个 尽管高数略懂 学得还是不好 求更详细点的解答
再答： 假设S(n+x)可以写成x的多项式函数，即 S(n+x)=a0+a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3 +... 将x=0代入得 a0=S(n) 两边对x求导 S'(n+x)=a1+2a2 * x + 3 a3 * x^2 + 4a4 * x^3... 将x=0代入上式 S'(n)=a1,即 a1=S'(n) 继续对x求导 S''(n+x)=2a2 + 3*2 * a3 * x + 4*3*a4 * x^2+... x=0代入得 S''(0)=2a2,即 a2=S‘’(0)/2 继续上述过程可得a3=S'''(0)/3!,... 得到a0,a1,...以后，再将x=-1代入 S(n+x)=a0+a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3 +... 即可得到你的结论
再问： 我大致理解了你的意思了 最后两个问题 结论既然是对的是不就可以用了有没有什么限制条件 还有就像Sn=2^n 是不就不能这么解了 就像你说的要取无穷多项
再答： 条件是这个级数S(n) + S'(n)(-1)/1! + S''(n)(-1)^2/2! + S'''(n)(-1)^3/3! + ... 要收敛到S(n-1),对于一般函数比如幂函数、指数、对数、正余弦（要任意阶可导）都是成立的 虽然是正确的，但一般不要用于高考之类的，能用正常的方法就正常一点吧。。 Sn=2^n这类也是可以这么解的，但是涉及到无穷级数的问题，可能超出你的知识范围，而且也不如正常法简单
再问： 多谢 看来我功力还是不够 求推荐两本书 我本身也是学物理竞赛的 对高数上的东西实在是看着很费劲
再答： 高数还是要结合应用或者习题理解吧，看看高数或者数学分析的教材就行了（我用的是高等教育出版社的），对你来说应该不会太难。祝你学习进步