作业帮贫僧求问,高数中换元的问题,
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 20:23:11
贫僧求问,高数中换元的问题,
为何,换元法解不定积分需要还原,但换元法求函数解后,就无需换回来?
举个例子,
平常函数求解,尤其复合函数求解用到换元时.
如f(x+6) = x^2,另x+6 = t,然后解得f(t) = (t-6)^2,
最后函数与函数符号无关,得f(x) = x^2 -12x + 36
可是呢
不定积分的换元法,解出最后通解后,还需要把t换回x
同样是换元,
为何用在不定积分需要还原,但是用在求解函数就不需要了呢?
疑惑了很久,问方丈方丈说的我没懂...再此求教
为何,换元法解不定积分需要还原,但换元法求函数解后,就无需换回来?
举个例子,
平常函数求解,尤其复合函数求解用到换元时.
如f(x+6) = x^2,另x+6 = t,然后解得f(t) = (t-6)^2,
最后函数与函数符号无关,得f(x) = x^2 -12x + 36
可是呢
不定积分的换元法,解出最后通解后,还需要把t换回x
同样是换元,
为何用在不定积分需要还原,但是用在求解函数就不需要了呢?
疑惑了很久,问方丈方丈说的我没懂...再此求教
函数换元,就拿你举得例子说吧.
你x+6=t这个算到最后f（t）=t^2-12t+36.你自己说函数和函数符号无关,这说明你懂了.
不定积分就说∫ （1/（1+sinx+cosx））dx
解使用万能代换：原式=∫1/(1+t)dt=in丨1+t丨+C===(回代)in丨1+tan（x/2）丨+C
你想说做到前面in丨1+t丨+C就应该可以了,函数符号和函数无关.但是你之前的换元,一直都是tanx=t/2.所以你要回代
但是你前面的函数换元后t=x+6是整体.f（x）=x^2.x+6才是函数f（t）,最后你简化为f（x）,自变量和函数外围都只有一个变量.前面f（x+6）表示的是整个f（x+6）并非f（x）.
再问： 非常感谢回答！ 不过我还是没懂。。。。人太笨了 您说的—— “但是你之前的换元，一直都是tanx=t/2。所以你要回代”（1） “自变量和函数外围都只有一个变量。前面f（x+6）表示的是整个f（x+6）并非f（x）。”（2） （1） 和 （2） 我没理解， 感觉这就是关键， 请问可不可以解释一下呢~ 我纠结的是两种情况有何区别导致方法不同~
再答： （1）就是自始自终，被积函数都是1+t（因为你换元了呀），所以做到最后你要将tanx=t/2回代到原式才能保持∫ （1/（1+sinx+cosx））dx，要不你算的可是∫1/(1+t)dt。此时，你要不你算的可是∫(1/1+x )dx (2)f(x+6)算到后面（换元后）f(t) = t^2 -12t + 36，此时就是f（x），而并非f（x+6）或者f（t+6）。f（x）和f（x+6）是两个不同的函数呀。 这下搞明白了吧？
再问： 是不是， 问题其实是整体代换和局部代换的问题， 局部换了之后肯定不等， F(x) = f(x) + C, t = 2x, F(t) = f(t) + c 但是 F(x) != f(t) + c 是的吗?
再答： 嗯，就是样子的。
你x+6=t这个算到最后f（t）=t^2-12t+36.你自己说函数和函数符号无关,这说明你懂了.
不定积分就说∫ （1/（1+sinx+cosx））dx
解使用万能代换：原式=∫1/(1+t)dt=in丨1+t丨+C===(回代)in丨1+tan（x/2）丨+C
你想说做到前面in丨1+t丨+C就应该可以了,函数符号和函数无关.但是你之前的换元,一直都是tanx=t/2.所以你要回代
但是你前面的函数换元后t=x+6是整体.f（x）=x^2.x+6才是函数f（t）,最后你简化为f（x）,自变量和函数外围都只有一个变量.前面f（x+6）表示的是整个f（x+6）并非f（x）.
再问： 非常感谢回答！ 不过我还是没懂。。。。人太笨了 您说的—— “但是你之前的换元，一直都是tanx=t/2。所以你要回代”（1） “自变量和函数外围都只有一个变量。前面f（x+6）表示的是整个f（x+6）并非f（x）。”（2） （1） 和 （2） 我没理解， 感觉这就是关键， 请问可不可以解释一下呢~ 我纠结的是两种情况有何区别导致方法不同~
再答： （1）就是自始自终，被积函数都是1+t（因为你换元了呀），所以做到最后你要将tanx=t/2回代到原式才能保持∫ （1/（1+sinx+cosx））dx，要不你算的可是∫1/(1+t)dt。此时，你要不你算的可是∫(1/1+x )dx (2)f(x+6)算到后面（换元后）f(t) = t^2 -12t + 36，此时就是f（x），而并非f（x+6）或者f（t+6）。f（x）和f（x+6）是两个不同的函数呀。 这下搞明白了吧？
再问： 是不是， 问题其实是整体代换和局部代换的问题， 局部换了之后肯定不等， F(x) = f(x) + C, t = 2x, F(t) = f(t) + c 但是 F(x) != f(t) + c 是的吗?
再答： 嗯，就是样子的。