证明n阶矩阵A^k=0;则I-A可逆

我们知道,如果矩阵B和C成立BC=En,则B和C互为逆矩阵,从而当然B和C都是可逆的.用这个知识,本题只要证明（En-A）*（En+A+A的平方+……+A的k-1次方）=En即可,这很简单可得.

先证A的特征值只有0；反证法：假设A有一个特征值t不等于0；那么,根据特征向量的定义,存在X不等于0,AX=tX；又A^K=0则0=(A^k)X=A^(k-1)(tX)=tA^(k-1)X=……=(t

注:i应该写成大写的I,但看起来象1,也可以记为E.因为A^2+A-3E=0所以A(A-2E)+3(A-2E)+3E=0即有(A+3E)(A-2E)=-3E.所以A-2E可逆,且(A-2E)^-1=(

这里有个知识点:r(A+B)=r(A+I+I-A)=r(2I)=r(I)=n.

两边同时减5i得A＾2-2A-3i=-5i(a-3i)(a+i)=-5i(-1/5(a+i))(a-3i)=i所以a-3i的逆矩阵是-1/5（a+i）因为有逆矩阵所以可逆

经济数学团队为你解答.再问：证明A特征值全为零和证明下一步E+kA特征值为1有什么关系吗？再答：有关系。若a是A的特征值，则1+ka是E+kA的特征值。

由矩阵的乘法定义可知A^2=nA所以A^3=A^2A=nAA=nA^2=n^2A.由归纳法可得A^k=AA^(k-1)=A(n^(k-2)A)=n^(k-2)A^2=n^(k-1)A.

假设A相似于对角矩阵Λ,则由相似的定义有A=P^(-1)ΛP,P可逆所以A^k=(P^(-1)ΛP)^k=P^(-1)Λ^k*P=O所以Λ^k=O即Λ=O从而A=P^(-1)ΛP=O与A是n阶非0矩阵

A^2-2A+2I=0A^2-3A+A-3I=-5IA(A-3I)+(A-3I)=-5I(A+I)(A-3I)=-5I[-1/5(A+I)](A-3I)=I因此-1/5(A+I)是A-3I的逆矩阵因此

可以用稍微初等一点的技术在复数域上上三角化总是可以的,并且特征值的次序可以任意指定那么就先上三角化到diag{A1,A2,...,Am}+N,每一块Ai都恰有一个特征值,且不同的块对应不同的特征值,N

I-A^k=(I-A)(I+A+...+A^(k-1)=I所以I-A可逆.其逆阵为(I+A+...+A^(k-1)

结论不成立：取K为实数或有理数域,n=3,A是3阶对角阵A=diag(-1.-1,-1),AA'=I,|A|=-1.I–A=diag(2,2,2),但|I-A|≠0

E-A^k=(E-A)(E+A+A^2+A^3+……+A^(k-1）)且A^k=O所以有E=(E-A)(E+A+A^2+A^3+……+A^(k-1）)由逆矩阵的定义得E-A可逆且E-A=I+A+A^2

因为A^m=O,即A为幂零矩阵,所以A的特征值只有0,从而对任意实数k,E+kA的特征值只能是1,|E+kA|等于其所有特征值的乘积,故不为0,所以E+kA为可逆矩阵.

设b=aTa,注意aTa为一个数字.A为正交矩阵==>AAT=E而AAT=(E-kaaT)(E-kaaT)T注意到ET=E,(aaT)T=aaT=(E-kaaT)(E-kaaT)=E-2kaaT+k^

1.直接用定义验证x非零时x^TBx>0,当然也可以看特征值2.A=C^TC,那么AB合同于CBC^{-1},然后看特征值

题中少写一个加号,可按下图证明.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.谢谢!

反证

AB=kE(k不等于0）.①|A||B|=|AB|=|kE|≠0A,B可逆①－＞:B=kA^(-1)∴BA=kA^(-1)A=kE再问：A,B可逆，为什么？①－＞:B=kA^(-1)可以写明白点吗?再

要用到两个不等式：(1)r(A)+r(B)r(A-B).根据(1),r(A+I)+r(A-I)=r((A+I)-(A-I))=r(2I)=n,因此r(A+I)+r(A-I)=n.