求曲面xy yz zx=1在点P(1,-2,-3)处的切平面

令f(x,y,z)=x+xy-z-1,则f'x(x,y,z)=1+y=2,f'y(x,y,z)=x=1,f'z(x,y,z)=-1,因此,在点（1,1,1）处的法向量为（2,1,-1）.

答案是1相当于有一个球面：x^2+y^2+z^2=R^2;与z∧2-xy=1相切,求最小的R消去z,得R^2=x^2+y^2+xy+1；相当于求g=x^2+y^2+xy+1的最小值,连续可导,求偏导得

设切点为P（x0，y0，z0），故曲面在切点处的切平面的法向量为n＝{2x0，2y0，−1}又由于n∥（2，2，1），且切点P在曲面上∴2x02＝2y02＝−11x02+y02+z0＝1解得：x0=y

曲面z=x^2+y^2+3在点M处的法向量n=(2x,2y,-1)|M=(2,-2,-1)写出切平面的方程2(x-1)-2(y+1)-(z-5)=0整理为2x-2y-z+1=0可以写成z=2x-2y+

由题意，曲面与柱面的交线在xoy面的投影为x2+y2=a2所设所截的曲面为∑，则∑在xoy面的投影为D={（x，y）|x2+y2≤a2}∴所求曲面的面积为A＝∫∫dS=∫∫D1+zx2+zy2dxdy

∵e^x-z+xy=3==>z=e^x+xy-3==>αz/αx│(2,1,0)=e²+1,αz/αy│(2,1,0)=2∴在点(2,1,0)处切平面的法向量是(e²+1,2,-1

令F（x，y，z）=xy-z，则Fx′=y，Fy′=x，Fz′=-1．从而，曲面在P（1，2，2）处的法向量为：n=（Fx′，Fy′，Fz′）|P=（2，1，-1），切平面方程为：2（x-1）+（y-

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xy-z^2+1=0=>z^2=xy+1x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+xy+1=(x+y/2)^2+3y^2/4+1>=1当且仅当x=y=0,z=正负1的时候成立,因此,离原点最近的点是(0

曲面xyz=1上点到原点距离L=x²+y²+z²=(1/xy)+(1/yz)+(1/xz)≥3√(1/xyz)²=3,当且仅当x=y=z=1时取得最小值.切平面

设曲面议程为F（X,Y,Z）其对XYZ的偏导分别为（X,Y,Z）,F2（X,Y,Z）,F3（X,Y,Z）将点（2,1,0）代入得[F1,F2,F3]（法向量）切平面方程F1*（X-2）+F2*（Y-1

交线y=tx=t^2z=t^(-3)x'(t0)=2,y'(t0)=1,z'(t0)=-3切线方程为(x-1)/2=(y-1)/1=(z-1)/(-3)法平面方程(x-1)*2+(y-1)*1+(z-

由题意，设F（x，y，z）=ez-z+xy-3，则曲面在点（2，1，0）处的法向量为n＝(Fx，Fy，Fz)|(2，1，0)=（y，x，ez-1）|（2，1，0）=（1，2，0）∴所求切平面方程（x-

方程整理成为F(x,y,z)=x²+y²+z-4=0,切向量=(Fx,Fy,Fz)=(2x,2y,1)=(2,2,1),则法线(x-1)/2=(y-1)/2=(z-2)/1,切平面

两边对x求导得z'x-e^x+2y=0z'x=e^x-2y=e-4两边对y求导得z'y+2x=0z'y=-2所以切平面方程为-z'x(x-x0)-z'y(y-y0)+(z-z0)=0即(4-e)(x-

x-y-1=0x+y-3=0;z=0

任意一曲面F(x,y,z)=0在点（x,y,z)的法向量为（Fx,Fy,Fz),那有其法向量了,那切平面就好求了,Fx意思为F对x的偏导数令F(x,y,z)=arctan(y/x)-zFx=(-y/x

令f(x,y,z)=x+xy-z-1,则f'x(x,y,z)=1+y=2,f'y(x,y,z)=x=1,f'z(x,y,z)=-1,因此,在点（1,1,1）处的法向量为（2,1,-1）.

令F(x,y,z)=sinz-z+xy-1则偏导数：Fx=yFy=xFz=cosz-1所以曲面sinz-z+xy=1在（2,-1,0）的法向量是:(-1,2,0)

由Z=X平方+Y平方得：F（X,Y,Z）=Z-X平方-Y平方F（X,Y,Z）分别对X,Y,Z求偏导得到：法向量n=(-2X,-2Y,1)带入点（1,1,2）得：n=(-2,-2,1)所以：-2(X-1