已知点P是双曲线的左焦点,点E是该双曲线的右顶点

用双曲线第二定义,e=4/5,所以5/4|PQ|=e|PQ|=PF2,根据两点间直线最短,|PA|+|PF2|的最小值就是|AF2|=5

法一：结合图形,当P沿左支的下半支从左趋近于F正下方时斜率趋近于无穷大,当P沿左支的下半支趋近于无穷远时,斜率接近与渐进线平行,得（1,+∞）而当P沿左支的下半支从F正下方趋近于左顶点时,斜率从无穷小

PF1=PF2+2a=PF2+4所以PF1+PA=PF2+PA+4F2（4,0）与A（1,4）间的线段与双曲线右支相交且两点之间线段最短所以min（PF2+PA）=F2A=5所以min（PF1+PA）

设双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a、b＞0）则左焦点F(-c,0)、右顶点E(a,0)过F的垂直x轴的直线与双曲线相交于A、B两点,那么由对称性知,∠EAF=∠EBF由三角形的内角

|PF|+|PA|的最小值就是线段AF

∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴∴∠AEF=∠BEF=45°∴|AF|=|EF|∵F为左焦点，设其坐标为（-c，0）∴|AF|=b2a∴|EF|=a+c

设点P到右焦点的距离为x则由双曲线的性质得x-10=2a=8∴x=9你的左支焦点上一点P这个是指p在左支上吧

∵F是双曲线x24-y212=1的左焦点，∴a=2，b=23，c=4，F（-4，0），右焦点为H（4，0），由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+(4−1

a=2 b=2*3^1/2  c=(4+12)^1/2=4F1是右焦点（4,0）PF+PA=PF1+2a+PA  (双曲线的一种定义方法） 

设M为右焦点,N为圆心|QF|=2a+|QM|,要使|PQ|+|QF|最小,即|PQ|+|QM|最小三角形两边之和大于第三边,|PQ|+|QM|大于等于|PM|（三点共线时取等号）|PM|最小值=|M

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1∵|PF1|=4|PF2|∴P在右支上,∵根据双曲线定义,|PF1|-|PF2|=2a∴4|PF2|-|PF2|=2a∴|PF2|=2/3*a∵双曲线右支上点P

根据双曲线定义,得|PF1-PF2|=2a又|PF1|=3|PF2|从而2PF2=2a∴PF2=a,PF1=3a又PF1+PF2≥F1F2则4a≥2c∴e≤2则1

详细解答过程请看下面的图片（如果看不清楚就先保存下来再打开来看）：

a=2 b=2*3^1/2  c=(4+12)^1/2=4F1是右焦点（4,0）PF+PA=PF1+2a+PA  (双曲线的一种定义方法） 

由题意，直线AB方程为：x=-c，其中c=a2+b2因此，设A（-c，y0），B（-c，-y0），∴c2a2-y02b2=1，解之y0=b2a，得|AF|=b2a，∵双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内

设a为双曲线的半实轴,按双曲线的定义|PF2|-|PF1|=2a若设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A（x,0),该点也是内切圆与横轴的切点.设B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点.考虑

x^2/a^2-y^2=1PF1^2/PF2>=8aPF1^2/(PF1-2a)>=8aPF1^2-8aPF1+16a^2>=0(PF1-4a)^2>=0PF1最小时,PF1=√(a^2+1)+a4a

右焦点为F2,则：PF-PF2=2a=4所以,PF=4+PF2所以,PF+PA=4+PF2+PA只要是PF2+PA最小即可,显然PF2+PA≧AF2则PF+PA的最小值=4+AF2AF2=5,所以,最

如图所示,af直线斜率为4/5,渐近线的斜率为√3,4／5＜√3,FA与双曲线右支必有一交点,P为此交点时,|PF|-|PA|有最大值.即│FA│=√41.若PFA可构成三角形PFA,则PF|-|PA

根据题意,tan∠AEF>1tan∠AEF=(b^2/a)/(a+c)>1解得：e>2